[論文レビュー] Relative DGA and mixed elliptic motives

Kenichiro Kimura, Tomohide Terasoma|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、楕円モチーフに関連する微分 graded 代数 (DGA) の相対バーバルコンストラクションを用いてホップ代数を構成し、そのコモジュールの圏が混合楕円モチーフの圏を実現することを証明する。DG圏の仮想混合楕円モチーフとバーバイコモジュール圏の間のホモトピー同値を確立し、対称べきのテートモジュール上のコモジュール構造を通じて、楕円ポリログのモチーフ的実現を提供する。

ABSTRACT

Bloch and Kriz construct an abelian category of mixed Tate motives as the category of comodules over a Hopf algebra obtained by the bar construction of the DGA of cycle complexes. In this paper we generalize their construction to give the definition of a category of mixed elliptic motives, i.e. a Tannakian category of mixed motives generated by an elliptic curve. We introduce the notion of a relative DGA over a reductive group. Then the category of mixed elliptic motives is defined as the category of comodules over the relative bar construction of a certain DGA $A_{EM}$ which is constructed from cycle complexes. The elliptic polylogarithm of Beilinson-Levin gives an interesting object in this category.

研究の動機と目的

• 相対微分 graded 代数およびバーコンストラクションを用いて、混合楕円モチーフのモチーフ的実現を構成すること。
• 仮想混合楕円モチーフのDG圏と、バーコンプレックスから導かれるホップ代数上のコモジュール圏との間のホモトピー同値を確立すること。
• 対称べきのテートモジュール上のコモジュール構造を通じて、楕円ポリログのモチーフ的解釈を提供すること。
• ブロッハ＝クリッツの混合テートモチーフの構成を、相対DGAおよび単体的バーコンプレックスを用いて楕円的設定へ一般化すること。

提案手法

• 再帰的群 $ S(\bk) $ に関する相対DGA $ A/\theta $ を定義し、楕円曲線のモノドロミー表現をモデル化する。
• 相対バーコンプレックス $ Bar(A/\theta, \rho) $ 及びその単体的バージョン $ Bar_{simp}(A/\theta, \rho) $ を構成し、それらの準同型的同値性を証明する。
• 小さなDGカテゴリ $ \fC_{VEM} $ 上のDG複体の圏として、仮想混合楕円モチーフのDG圏 $ (VMEM) $ を定義する。
• $ \fphi $ による関手を用いて、$ K(\fC_{VEM}) $ と $ Bar(\fC_{VEM}) $-コモジュールの圏との間のホモトピー同値を確立する。
• 相対バーコンストラクションを用いて、ホップ代数 $ H^0(Bar(\fC_{VEM})) $ を定義し、そのコモジュールの圏が混合楕円モチーブのアーベル圏と予想的に同値であることを示す。
• 対称べき $ \bigoplus_{i=-1}^n S^i(V)(i) $ 上のコモジュール構造を通じて、楕円ポリログを混合楕円モチーフとして実現し、$ pl_i $ および $ i_s $ を含む明示的なコプロダクト式を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相対バーコンプレックスを用いて構成されたホップ代数上のコモジュール圏として、混合楕円モチーブの圏を実現できるか？
• RQ2 楕円曲線のモノドロミー表現に関連するDGAの相対バーコンストラクションは、モチーブ的構造とどのように関係するか？
• RQ3 楕円ポリログは、ホップ代数上のコモジュールとして自然に混合楕円モチーフとして実現可能か？
• RQ4 ポリログの拡張データを実現する対称べき $ S^i(V)(i) $ 上の正確なコモジュール構造は何か？
• RQ5 ブロッハ＝クリッツの混合テートモチーブの構成を、相対DGAおよび単体的バーコンプレックスを用いて楕円的設定へ一般化できるか？

主な発見

• 単体的バーコンプレックス $ Bar_{simp}(A/\theta, \rho) $ は、標準的な相対バーコンプレックス $ Bar(A/\theta, \rho) $ と準同型的同値であり、ホモトピー的整合性が保証される。
• 仮想混合楕円モチーブのDG圏 $ (VMEM) $ は、$ Bar(\fC_{VEM}) $-コモジュールのDG圏とホモトピー同値であり、導来同値性が確立される。
• 関手 $ \fphi $ による対応で、ポリログモチーフ $ Pl_{MEM,n} $ は、$ H^0(Bar) $-コモジュール $ Pl_n $ に対応し、成分として $ 0 \to n $ に対して $ Pl_n^i = S^i(V)(i) $、$ Pl_n^{-1} = V $ を有する。
• $ \fphi(Pl_{MEM,n}) $ 上のコプロダクト構造は、$ pl_u $、$ i_s $、および $ \rho $ を含む成分で明示的に与えられ、$ a_{ij} $ はテンソル積と符号を介したコモジュール作用を符号化する。
• ポリログ類 $ \tilde{P}_n $ の閉じていること（closedness）は、関係式 $ \nabla(pl_i) + (-1)^i i_s(pl_{i-1}) = 0 $ に対応し、複体内の微分と整合的であることを保証する。
• 楕円ポリログ類 $ P_n $ は、ノルム写像による対角サイクルの像として特定され、そのコホモロジー類は $ CH^1(U \times (U_B^1)_s, 0)_{-,sgn}^{(1)} \to \bbQ\Delta $ における生成元に対応する。