[論文レビュー] Relative differential characters

Mark Brightwell, Paul Turner|ArXiv.org|Aug 24, 2004

Numerical methods for differential equations参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、2つの定義を比較することによって、相対微分特性の厳密な枠組みを確立する。1つはチーバー＝シモンズ理論を拡張するもので、もう1つはホプキンズ＝シンガーのコチェーン複体アプローチに基づくものである。相対ホプキンズ＝シンガー群が相対チーバー＝シモンズ群の部分群の商であることを証明し、写像を伴う多様体の相対微分コホモロジー理論における基礎的不明点を解消する。

ABSTRACT

There are two natural candidates for the group of relative Cheeger-Simons differential characters. The first directly extends the work of Cheeger and Simons and the second extends the description given by Hopkins and Singer of the Cheeger-Simons group as the homology of a certain cochain complex. We discuss both approaches and relate the two relative groups.

研究の動機と目的

• 滑らかな写像 ρ: A → M の文脈において、相対微分特性の2つの競合する定義の関係を明確化すること。
• 元の構成の自然な一般化を用いて、チーバー＝シモンズの微分特性理論を相対的状況に拡張すること。
• 絶対的状況におけるホプキンズ＝シンガーのアプローチに類似した、チェーン複体を用いた相対微分特性のコホモロジー的記述を構築すること。
• 相対ホプキンズ＝シンガー群が長完全系列に含まれることを示し、相対チーバー＝シモンズ群とは対照的に、それとは異なる。
• 2つの相対群の間の明確な代数的関係を確立し、一方が他方の部分群の商であることを示すこと。

提案手法

• 相対チーバー＝シモンズ群 Ĥ^k(ρ) を、Z_{k-1}(M) × Z_{k-1}(A) → ℝ/Λ なるホモモーフィズム f として定義する。ここで f∘∂ は Ω^k(M) に値をとり、ρ による引き戻しと整合性を持つ条件を満たす。
• 相対チーバー＝シモンズ群を計算するコホモロジーをもつコチェーン複体 Ĉ^*(ρ) を構成し、ホプキンズ＝シンガー複体を相対的状況に拡張する。
• 相対ホプキンズ＝シンガー群 Ȟ^k(ρ) を、Ω^k(ρ)、Ω^{k-1}(ρ)、C^k(ρ) を係数とするコチェーン複体のコホモロジーとして定義する。微分はコバウンダリー写像と曲率写像を組み合わせたものである。
• Ω^k-1(M)/Ω̃^k-1(M)、Ĥ_0^k(ρ)、Ȟ^k(ρ) を含む短完全系列を確立し、Ĥ_0^k(ρ) が Ȟ^k(ρ) に全射であることを示す。
• 複体の短完全系列から得られるコホモロジーの長完全系列を用いて、境界写像 δ: Ω^k-1(M)/Ω̃^k-1(M) → Ĥ_0^k(ρ) の像が、引き戻しを用いて定義された写像 φ と一致することを証明する。
• 射影 p: Ȟ^k(ρ) → Ω^k(M)/Ω̃^k(M) が自明であることを示し、これにより 0 → Ω^k-1(M)/Ω̃^k-1(M) → Ĥ_0^k(ρ) → Ȟ^k(ρ) → 0 が完全であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多様体のペア (M, A) と滑らかな写像 ρ: A → M に対して、チーバー＝シモンズの微分特性の正しい相対的一般化は何か？
• RQ2 直接的なチーバー＝シモンズの拡張と、ホプキンズ＝シンガーのコチェーン複体に基づく2つの自然な相対微分特性の定義は、どのように関係しているか？
• RQ3 相対ホプキンズ＝シンガー群は長完全系列に含まれるか？ もしそうなら、相対チーバー＝シモンズ群が満たす完全系列とはどのように対比されるか？
• RQ4 相対ホプキンズ＝シンガー群は、相対チーバー＝シモンズ群の部分群の商と同型であるか？
• RQ5 相対コホモロジー複体の長完全系列における境界写像は、微分形式と引き戻しを用いて明示的に記述できるか？

主な発見

• 相対チーバー＝シモンズ群 Ĥ^k(ρ) は、Z_{k-1}(M) × Z_{k-1}(A) → ℝ/Λ なるホモモーフィズム f として定義され、f∘∂ が Ω^k(M) に値をとり、ρ による引き戻しと整合性を持つ条件を満たす。
• 相対チーバー＝シモンズ群は、実コホモロジー、整数コホモロジー、曲率形式を含む、絶対的状況に類似した3つの短完全系列に含まれる。
• 相対ホプキンズ＝シンガー群 Ȟ^k(ρ) は、M と A のチェーン、M と A の Λ-周期を持つ形式、およびコバウンダリーと曲率写像を組み合わせた微分を含むコチェーン複体のコホモロジーとして定義される。
• 相対ホプキンズ＝シンガー群は長完全系列に含まれるが、これに対して相対チーバー＝シモンズ群は含まれない。
• 写像 J: Ĥ_0^k(ρ) → Ȟ^k(ρ) は全射であり、J の核は Ω^k-1(M)/Ω̃^k-1(M) に同型である。これにより、Ȟ^k(ρ) が Ĥ_0^k(ρ) のこの部分群による商と同型であることが示される。
• 境界写像 δ: Ω^k-1(M)/Ω̃^k-1(M) → Ĥ_0^k(ρ) は明示的に δ([η]) = ((0,0), (η,0), (0, ρ^*η)) と与えられ、これは引き戻しを用いて定義された写像 φ と一致する。