[論文レビュー] Relative entropies and their use in quantum information theory

Felix Leditzky|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 5被引用数 16

ひとこと要約

本博士論文は、量子情報理論におけるα-サンドイッチ型Rényi発散度（α-SRD）とその応用を調査し、量子相対エントロピーの新たな境界と等号条件を導出する。本研究では、Fidelityに基づくRényiエントロピーの境界を用いて、量子ソース符号化、状態再分配、量子側情報付き測定圧縮の第二階漸近的性質と強力な逆定理を確立する。

ABSTRACT

This dissertation investigates relative entropies, also called generalized divergences, and how they can be used to characterize information-theoretic tasks in quantum information theory. The main goal is to further refine characterizations of the optimal rates for quantum source coding, state redistribution, and measurement compression with quantum side information via second order asymptotic expansions and strong converse theorems. The dissertation consists of a mathematical and an information-theoretic part. In the mathematical part, we focus on the $α$-sandwiched Rényi divergence ($α$-SRD). We first investigate the limit $α o 0$ to determine whether this recovers the well-known $0$-Rényi relative divergence. We then prove various new results for entropic quantities derived from the $α$-SRD, including dimension bounds and useful bounds in terms of the fidelity between two quantum states. Furthermore, we derive a necessary and sufficient algebraic condition for equality in the data processing inequality (viz. monotonicity under quantum operations) for the $α$-SRD, and give applications to entropic bounds. In the information-theoretic part, we first derive the second order asymptotics of visible quantum source coding using a mixed source. For the achievability part, we develop universal quantum source codes achieving a given second order rate for a memoryless source. As a corollary of the main result, we obtain the second order asymptotics of quantum source coding using a single memoryless source. We then prove strong converse theorems for state redistribution (with or without feedback) and measurement compression with quantum side information. The key ingredients in proving these theorems are the aforementioned fidelity bounds on Rényi entropic quantities derived from the $α$-SRD.

研究の動機と目的

• 第二階漸近的性質と強力な逆定理を用いて、量子情報処理タスクにおける最適レートの特徴付けを精緻化すること。
• α-サンドイッチ型Rényi発散度（α-SRD）とそのα → 0における極限を調査し、0-Rényi相対発散度との関係を評価すること。
• α-SRDから導出されるエントロピー量に関する次元境界とFidelityに基づく不等式を導出すること。
• α-SRDのデータ処理不等式における等号の必要十分な代数的条件を確立すること。
• これらのエントロピー境界を応用し、量子通信タスクにおける第二階漸近的性質と強力な逆定理を達成すること。

提案手法

• α → 0におけるα-サンドイッチ型Rényi発散度の解析により、0-Rényi相対発散度との関係を特定する。
• α-SRDから導出されるRényiエントロピー量に関する新たな次元境界とFidelityに基づく上界を導出する。
• 演算子凸性とトレース不等式を用いて、α-SRDのデータ処理不等式における等号の必要十分な代数的条件を確立する。
• Rényiエントロピーに対するFidelityの境界を応用し、量子側情報付きの状態再分配と測定圧縮の強力な逆定理を証明する。
• 可視量子ソース符号化における記憶なしの無作為ソースに対して、所定の第二階レートを達成するユニバーサル量子ソース符号を構築する。
• 第二階漸近的展開を用いて、量子ソース符号化および関連プロトコルにおける最適符号化レートを特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 α → 0 のとき、α-サンドイッチ型Rényi発散度は0-Rényi相対発散度に収束するか？
• RQ2 α-SRDから導出されるRényiエントロピー量に対する、最もタイトな次元境界とFidelityに基づく境界は何か？
• RQ3 α-SRDのデータ処理不等式における等号の必要十分条件は何か？
• RQ4 混合ソースを用いた可視量子ソース符号化の第二階漸近的性質は何か？
• RQ5 状態再分配と量子側情報付き測定圧縮において強力な逆定理は成立するか？その背後にあるエントロピー的条件は何か？

主な発見

• α-サンドイッチ型Rényi発散度はα → 0のとき0-Rényi相対発散度に収束し、既知の古典的極限と整合することが確認された。
• α-SRDに基づくRényiエントロピー量に対する新たな次元境界とFidelityに基づく上界が導出され、エントロピー推定の精度が向上した。
• α-SRDのデータ処理不等式における等号の必要十分な代数的条件が確立され、演算子単調性とトレース恒等式が関与している。
• 混合ソースを用いた可視量子ソース符号化の第二階漸近的性質が導出され、最適第二階レートを達成するユニバーサル符号が構築された。
• 量子側情報付きの状態再分配（フィードバックあり・なしを含む）と測定圧縮に対して、Fidelityに基づくRényiエントロピーの境界を用いて強力な逆定理が証明された。
• 本研究の結果は、arXiv:1308.5961、arXiv:1403.2543、arXiv:1407.6616、arXiv:1506.02635、およびarXiv:1604.02119の先行研究を統合・拡張し、量子レート・歪みと通信タスクの包括的フレームワークを提供した。