[論文レビュー] Relative entropy derivation of the uncertainty principle with quantum side information

Patrick J. Coles, Yu Li+1 more|arXiv (Cornell University)|May 24, 2011

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 1被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、量子側情報を持つ不確定性原理について、相対エントロピーに基づく新しい証明を提示し、それがデータ処理不等式として成立することを確立する。相対エントロピーの単調性を活用することで、不確定性の下限に等号を満たす最小不確定性状態（MUS）を系統的に同定する手法を導出し、それらの状態が時間反転対称な力学と関連していることを示し、量子基礎および情報理論におけるエントロピック不確定性関係について新たな知見を提供する。

ABSTRACT

We give a simple proof of the uncertainty principle with quantum side information, as in [Berta et al. Nature Physics 6, 659 (2010)], invoking the monotonicity of the relative entropy. Our proof shows that the entropic uncertainty principle can be viewed as a data-processing inequality, a special case of the notion that information cannot increase due to evolution in time. This leads to a systematic method for finding the minimum uncertainty states of various entropic uncertainty relations; interestingly such states are intimately connected with the reversibility of time evolution.

研究の動機と目的

• 相対エントロピーを用いて、量子側情報を伴う不確定性原理のシンプルで情報理論的証明を提供すること。
• 相対エントロピーの単調性に起因して、不確定性原理が自然にデータ処理不等式として現れることを示すこと。
• エントロピック不確定性関係における最小不確定性状態（MUS）を系統的に同定するための手法を開発すること。
• 特に量子暗号やもつれの検出文脈において、量子側情報が不確定性関係に与える物理的および操作的意味を明確化すること。
• 測定が事前知識に対して補完的である場合に強化される状態依存型の不確定性境界への一般化を図ること。

提案手法

• 相対エントロピーの単調性を根幹とする原則を用い、量子操作の下で情報が増加しないことを示す。
• 系aにおける観測量に関する側情報をbおよびcが保持する三部形式量子状態ρ_abcに相対エントロピーを適用する。
• 相対エントロピーのデータ処理不等式を用いて、互いに偏りのない基底（MUBs）に対してH(v|c) + H(w|b) ≥ log dの不確定性関係を導出する。
• 不等式における等号成立条件を解くことで最小不確定性状態を同定し、密度行列の構造を通じて時間反転可能ダイナミクスと関連付ける。
• MUSを二つのクラスに分類する：Υ（一方の観測量に対して条件付きエントロピーがゼロの状態）およびΩ（異なる測定基底で直交するサポートを持つ分離状態）、およびこれらとは異なるクラスに属するMUSを同定する。
• スミット分解およびフォン・ノイマンエントロピーの性質を用いて、三部形式系における条件付きエントロピーおよび相互情報量を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかなエントロピーに依存せずに、量子側情報を伴う不確定性原理を導出可能か？
• RQ2 量子側情報が存在する際の不確定性境界の操作的および物理的意味は何か？
• RQ3 エントロピック不確定性関係において等号が成立するための必要十分条件は何か？
• RQ4 最小不確定性状態は量子ダイナミクスの可逆性とどのように関連しているか？
• RQ5 既存の分類スキームではカバーされないもつれを有する最小不確定性状態は存在するか？

主な発見

• 量子側情報を伴う不確定性原理は、相対エントロピーの単調性の結果として導かれ、より深い操作的および概念的基盤を提供する。
• 最小不確定性状態（MUS）は、関連する量子操作の下で相対エントロピーが増加しない状態として正確に特定され、時間反転可能ダイナミクスと関連づけられる。
• 次元dにおける互いに偏りのない基底（MUBs）に対して、不確定性境界H(v|c) + H(w|b) ≥ log dは、Υクラスに属する状態によって達成され、H(w|c) = 0またはH(w|b) = 0を満たす状態も含む。
• 第二のMUSクラスであるΩは、異なる測定基底で直交するサポートを持つ分離状態から構成され、適切なαに対してH(z|b) = log s_αおよびH(x|b) = log(d/s_α)を満たす。
• ΥおよびΩとは異なるクラスに属するMUSも、d=2およびd=3の場合に同定され、たとえば|ψ⟩_abc = (|0⟩|ϕ_b⟩|ϕ_c⟩ + |1⟩|φ_b⟩|φ_c⟩)/√2のようなもつれ状態が含まれる。これらは分離状態でもなく、Υクラスにも属さない。
• これらの新規MUSは、ρ_abおよびρ_acの両方で非ゼロの量子ディスコードおよびもつれを示しており、最小不確定性状態にもつれが許容されることを示唆している。