[論文レビュー] Relative entropy in quantum information theory

Benjamin Schumacher, Michael Westmoreland|ArXiv.org|Apr 10, 2000

Statistical Mechanics and Entropy被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、量子情報理論における量子相対エントロピーを中心的な道具として確立し、量子通信、データ圧縮、もつれの操作への応用を示している。また、多粒子もつれの可逆的変換には、すべての部分系のエントロピーともつれの相対エントロピーを保存する必要があることを証明し、このような変換が漸近的に可逆となるための必要条件を提示している。

ABSTRACT

We review the properties of the quantum relative entropy function and discuss its application to problems of classical and quantum information transfer and to quantum data compression. We then outline further uses of relative entropy to quantify quantum entanglement and analyze its manipulation.

研究の動機と目的

• 量子相対エントロピーを、量子情報処理タスクを分析する統一的枠組みとして確立すること。
• ノイズのあるチャネルを介した古典的および量子通信のコストを特徴付ける相対エントロピーの役割を調査すること。
• 相対エントロピー測度を用いて、多粒子もつれの可逆的操作のための必要条件を導出すること。
• ドナルドの恒等式と漸近的区別可能性の結果を用いて、情報処理タスクの境界を導出すること。
• 相対エントロピー技術を活用して、量子情報における加法性問題を検討すること。

提案手法

• 量子状態間の統計的区別可能性の基本的指標として、量子相対エントロピー $\mathcal{S}(\rho||\sigma) = \mathrm{Tr}(\rho\log\rho - \rho\log\sigma)$ を用いる。
• ドナルドの恒等式：$\sum_k p_k \mathcal{S}(\rho_k||\sigma) = \sum_k p_k \mathcal{S}(\rho_k||\rho) + \mathcal{S}(\rho||\sigma)$ を用いて、情報処理における不等式を導出する。
• 量子サンフランシスコの定理を適用し、$N$ 個の $\sigma$ のコピーを $\rho$ と混同する確率が、$N$ が大きいとき $2^{-N\mathcal{S}(\rho||\sigma)}$ のオーダーで減少することを示す。
• もつれの相対エントロピー $E_r^{AB} = \min_{\sigma \in \text{SEP}} \mathcal{S}(\rho^{AB}||\sigma)$ を定義し、双粒子状態におけるもつれの度合を定量化する。
• すべての部分系ペアにおける部分系エントロピーともつれの相対エントロピーの不変性を要請することで、多粒子もつれ状態の可逆的変換を分析する。
• 相対エントロピーの jointly convex および連続性の性質を用いて、通信コストおよびデータ圧縮レートの境界を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ある多粒子もつれ状態を別の状態に漸近的に可逆的に変換するための必要条件は何か？
• RQ2 量子相対エントロピーは、繰り返し測定下での量子状態の区別可能性をどのように規定するか？
• RQ3 相対エントロピーを用いて、量子プロトコルにおける古典的通信コストのタイトな境界を導出できるか？
• RQ4 ドナルドの恒等式は、量子情報処理タスクの不等式を導出する際に果たす役割は何か？
• RQ5 もつれの相対エントロピーは、多キュービット系におけるもつれ変換の可逆性をどのように制約するか？

主な発見

• 多粒子もつれの可逆的変換には、すべての部分系エントロピーが一定に保たれなければならない。たとえば、$N$ 個の $|\Psi_1\rangle$ のコピーが $N$ 個の $|\Psi_2\rangle$ のコピーに可逆的に変換可能であるためには、$S(\rho_A^1) = S(\rho_A^2)$ が必須である。
• すべての部分系ペアにおいてもつれの相対エントロピー $E_r^{BC}$ が保存されなければならない。たとえば、2つのGHZ状態では $E_r^{BC} = 0$ だが、3つのEPR対では $E_r^{BC} = 1$ であり、この差が変換の不可逆性をもたらす。
• $N$ 個の $\sigma$ のコピーを $\rho$ と混同する確率は、$2^{-N\mathcal{S}(\rho||\sigma)}$ のオーダーで指数的に減少し、相対エントロピーが漸近的区別可能性を定量化することを示している。
• もつれの相対エントロピー $E_r^{AB}$ は、ある状態と任意の分離状態との間の最小量子相対エントロピーとして定義され、双粒子系におけるもつれの度合を測る指標を提供する。
• 相対エントロピーの jointly convex 性により、凸結合に対して $\mathcal{S}(\rho||\sigma) \leq p_1\mathcal{S}(\rho_1||\sigma_1) + p_2\mathcal{S}(\rho_2||\sigma_2)$ が成り立ち、情報理論における頑健な不等式の構築が可能になる。
• 本稿では、相対エントロピーを用いた通信コストおよび量子データ圧縮のコストに関する、初めての結果を提示しており、量子情報処理のための新たな解析的ツールを提供している。