[論文レビュー] Relative family Gromov-Witten invariants and symplectomorphisms

Olguţa Buşe|ArXiv.org|Oct 29, 2001

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、1パラメータ族のシンプレクティック形式を備えた多様体のシンプレクティック自己同型群の非自明なホモトピー類を検出するため、相対的家族Gromov-Witten不変量を導入する。$S^2 \times S^2 \times X$ 上のほぼ複素構造と変形されたコhomology類を分析することで、Abreu-McDuffが発見したような繊細なホモトピー類が、シンプレクティック自己同型群の高次のホモトピー群にわたっても存続することを証明し、可算無限個の $k$ および $λ$ に対して $π_k(G_λ^X)$ に非自明な要素が存在することを確立する。これらの不変量はシンプレクティック変形不変量であり、ほぼ複素構造空間内の非自明な相対ホモトピー類を検出する。

ABSTRACT

We study the symplectomorphism groups $G_λ=Symp_0(M,ω_λ)$ of an arbitrary closed manifold M equipped with a 1-parameter family of symplectic forms $ω_λ$ with variable cohomology class. We show that the existence of nontrivial elements in $π_*({\cal A},{\cal A}')$, where $({\cal A},{\cal A}')$ is a suitable pair of spaces of almost complex structures, implies the exiarxiv.org stence of families of nontrivial elements in $π_{*-i}G_λ$, for $i=1$ or 2. Suitable parametric Gromov Witten invariants detect nontrivial elements in $π_*({\cal A},{\cal A}')$. By looking at certain resolutions of quotient singularities we investigate the situation $(M,ω_λ)= (S^2 imes S^2 imes X,σ_F \oplus λσ_B \oplus ω_{st})$, with $(X,ω_{st})$ an arbitrary symplectic manifold. We find families of nontrivial elements in $π_k(G_λ^X)$, for countably many $k$ and different values of $λ$. In particular we show that the fragile elements $w_{\ell}$ found by Abreu-McDuff in $π_{4 \ell}(G_{\ell+1}^{pt})$ do not disappear when we consider them in $S^2 imes S^2 imes X$.

研究の動機と目的

• シンプレクティック形式 $ω_\lambda$ のコhomology類が1パラメータ族を形成する際、その変化に伴いシンプレクティック自己同型群 $π_0(M,\omega_\lambda)$ の位相がどのように変化するかを理解すること。
• パラメトリックGromov-Witten不変量を用いて、シンプレクティック自己同型群のホモトピー群に非自明な要素を検出すること。
• Abreu-McDuffが $π_{4\ell}(G_{\ell+1}^{\mathrm{pt}})$ で発見した繊細なホモトピー類が、$S^2 \times S^2 \times X$ に拡張された際にも存続することを示すこと。
• ファイブレーション系列を通じて、ほぼ複素構造空間内の非自明な相対ホモトピー類とシンプレクティック自己同型群内の非自明なホモトピー類との間の関係を確立すること。

提案手法

• パラメータ $b \in B$ における $J_b$-正則安定写像をクラス $D$ で数える相対的家族Gromov-Witten不変量 $PGW^{M,(J_B,J_{\partial B})}_{D,0,k}$ を定義する。ここで $J_b$ は $\partial B$ 上の写像を避けるように選ばれ、不変量の定義が保証される。
• これらの不変量を用いて、$\pi_*(\mathcal{A}_I, \mathcal{A}_{I,D}^c)$ から $\mathbb{Q}$ へのホモモーティズム $\Theta_{k,\alpha_1,\dots,\alpha_k}$ を構成する。これらの不変量はシンプレクティック変形不変量である。
• ファイブレーション $\mathrm{Symp}_0(M,\omega_\lambda) \to \mathrm{Diff}_0(M) \to \mathcal{A}_\omega$ を用いて、ほぼ複素構造のホモトピーとシンプレクティック自己同型群の位相とを関連付ける。
• $\mathbb{C}^2/C_{2\ell}$ の商特異点の解消を分析し、$\mathcal{A}_{[\ell+\epsilon,\ell]}$ 内で非自明な不変量を持つ明示的な家族 $(J_{B_\ell}, \partial J_{B_\ell})$ を構成する。
• ファイブレーションのホモトピー群の長完全系列を用いて、$\pi_k(\mathcal{A}_{\ell^+}, \mathcal{A}_\ell)$ 内の非自明な類を $\pi_{k-1}(G_\lambda^X)$ 内の非自明な要素へ持ち上げる。
• 持久的要素（$\pi_k(\mathcal{A}_{\ell^+}, \mathcal{A}_\ell)$ 内で $\pi_k(\mathcal{A}_\ell)$ に引き上げられないもの）が、$\mathrm{Diff}_0(M)$ からの持ち上げが不可能な非自明かつ非胚的要素を $\pi_{k-1}(G_\lambda^X)$ に与えることを証明し、それらが新しいものであり、$\lambda < \ell$ の $\pi_{k-1}(G_\lambda)$ の胚として生じないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ほぼ複素構造空間内の非自明なホモトピー類は、シンプレクティック自己同型群内の非自明な要素を検出できるか？
• RQ2 シンプレクティック形式の変形において、相対的家族Gromov-Witten不変量は、シンプレクティック自己同型群内に持久的なホモトピー要素を検出できるか？
• RQ3 Abreu-McDuff が $\pi_{4\ell}(G_{\ell+1}^{\mathrm{pt}})$ で発見した繊細なホモトピー類は、$S^2 \times S^2 \times X$ に拡張された際にも存続するか？
• RQ4 本手法で構成された $\pi_k(G_\lambda^X)$ 内の非自明な要素は、新しいものか、それとも $\lambda < \ell$ の $\pi_k(G_\lambda)$ の胚として生じるか？
• RQ5 シンプレクティック自己同型群の位相は、$\mathcal{A}_{\omega_\lambda}$ 内の相対ホモトピー類に敏感なパラメトリック不変量を通じて検出可能か？

主な発見

• 相対的家族Gromov-Witten不変量 $PGW^{M,(J_B,J_{\partial B})}_{D,0,k}$ はシンプレクティック変形不変量であり、ペア $(J_B, J_{\partial B})$ の相対ホモトピー類にのみ依存する。
• $M = S^2 \times S^2 \times X$ で $\omega_\lambda = \sigma_F \oplus \lambda \sigma_B \oplus \omega_{\mathrm{st}}$ のとき、$\lambda \in [\ell, \ell+\epsilon]$ および $\ell \in \mathbb{N}$ に対して非自明な不変量が存在し、これにより $\pi_{4\ell-2}(G_\lambda^X)$ に非自明な要素が得られる。
• Abreu-McDuff が $\pi_{4\ell}(G_{\ell+1}^{\mathrm{pt}})$ で発見した繊細な要素 $w_\ell$ は、$S^2 \times S^2 \times X$ に持ち上げられた後も消滅せず、$\lambda > \ell$ に対して $\pi_{4\ell-2}(G_\lambda^X)$ 内で非自明のままである。
• $\pi_k(\mathcal{A}_{\ell^+}, \mathcal{A}_\ell)$ 内の非自明な要素は $\pi_{k-1}(G_\lambda^X)$ 内の非自明な要素を生じさせ、これらは $\mathrm{Diff}_0(M)$ からの持ち上げが不可能であり、$\lambda < \ell$ の $\pi_{k-1}(G_\lambda)$ の胚として生じないことを示し、それらが新しいものであることを証明する。
• $\pi_k(\mathcal{A}_{\ell^+}, \mathcal{A}_\ell)$ 内の持久的要素（$\pi_k(\mathcal{A}_\ell)$ に引き上げられないもの）は、$\pi_{k-1}(G_\lambda^X)$ 内で非自明かつ非胚的要素を生じさせ、それらの位相的独自性を確認する。
• $\mathbb{C}^2/C_{2\ell}$ の解消を用いた構成により、非自明な不変量を持つ明示的なほぼ複素構造の族が得られ、これにより $k = 4\ell - 2$ の $\pi_k(G_\lambda^X)$ 内で可算無限個の非自明なホモトピー類を検出可能である。