[論文レビュー] Relative hyperbolicity and mapping class groups of surfaces

James W. Anderson, Javier Aramayona+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2005

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、Bowditch が定義する意味で、複雑度が1以上の向きつけ可能な曲面の写像類群は、任意の有限個の有限生成部分群の集合に関して強く相対的双曲的ではないことを証明する。幾何学的および群論的技法を用いて、このような群が強く相対的双曲的条件を満たさないことを確立し、表面の対称性に関連する幾何群論における重要な問いを解決する。

ABSTRACT

We show that the mapping class group of an orientable surface of complexity at least one is not strongly relatively hyperbolic (i.e., in the sense of Bowditch) relative to any finite collection of finitely generated subgroups. MSC 20F67 (primary), 20F65 (secondary) 1

研究の動機と目的

• 複雑度が1以上の表面の写像類群が、任意の有限個の有限生成部分群の集合に関して強く相対的双曲的であるかどうかを特定すること。
• 写像類群の幾何学的および群論的構造が相対的双曲的性質とどのように関係するかを調査すること。
• 表面写像類群の双曲的類似性質に関する幾何群論における基礎的問いを解決すること。

提案手法

• Bowditch が定義する強く相対的双曲的性質の定義を用い、特定の部分集合に対して有限相対的擬凸包の存在に注目する。
• 写像類群の表面の曲線グラフへの作用を分析し、その双曲的性質を活用する。
• 組合せ的および幾何的議論を適用して、群が強く相対的双曲的公理を満たせないことを示す。
• 有限生成部分群の構造とそれらが写像類群内での相互作用がどのように働くかを検討する。
• 強く相対的双曲的であると仮定し、構造的不整合を導く背理法を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複雑度が1以上の表面の写像類群は、任意の有限個の有限生成部分群の集合に関して強く相対的双曲的であるか？
• RQ2 写像類群が Bowditch の強く相対的双曲的性質条件を満たさないのを妨げる幾何的制約は何であるか？
• RQ3 曲線グラフのダイナミクスと部分群の相互作用は、写像類群における強く相対的双曲的性質の妨げとなるのはどのようにしてか？

主な発見

• 任意の向きつけ可能な曲面について、複雑度が1以上の写像類群は、任意の有限個の有限生成部分群の集合に関して強く相対的双曲的でない。
• 強く相対的双曲的でない原因は、曲線グラフへの群作用の構造的性質と部分群の相互作用に起因する。
• 有限生成部分群の有限集合の選び方に関係なく、この結果は成り立つ。
• 証明は、曲線グラフの内面的幾何学と、Bowditch の公理下での有限相対的擬凸包の非存在に依存する。
• この結果は、写像類群が、最も有利な部分群構成であっても、強く相対的双曲的構造をもたないことを示唆する。