[論文レビュー] Relative hyperbolicity, classifying spaces, and lower algebraic K-theory

Jean‐François Lafont, Ivonne Johanna Ortiz|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2006

Geometric and Algebraic Topology参考文献 16被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、3次特殊正交群 $SO(3,1)$ 内の非均一格子であるコックスター群 $\Gamma_3$ の、 virtually cyclic な部分群の族に対する分類空間 $E_{\mathcal{V}\mathcal{C}}(\Gamma_3)$ のモデルを構成する。相対的双曲性と Bass-Serre 理論を用いて、最大の無限 virtually cyclic 部分群を分類し、$\mathbb{Z}\Gamma_3$ の下部代数的 $K$-理論を計算する。本稿では、この文脈で初めて関連する Waldhausen Nil-群を明示的に特定する。

ABSTRACT

For $Γ$ a relatively hyperbolic group, we construct a model for the universal space among $Γ$-spaces with isotropy on the family VC of virtually cyclic subgroups of $Γ$. We provide a recipe for identifying the maximal infinite virtually cyclic subgroups of Coxeter groups which are lattices in $O^+(n,1)= \iso(\mathbb H^n)$. We use the information we obtain to explicitly compute the lower algebraic K-theory of the Coxeter group $\gt$ (a non-uniform lattice in $O^+(3,1)$). Part of this computation involves calculating certain Waldhausen Nil-groups for $\mathbb Z[D_2]$, $\mathbb Z[D_3]$.

研究の動機と目的

• 相対的双曲的群における、virtually cyclic 部分群の族 $\mathcal{V}\mathcal{C}$ に倣う普遍 $\Gamma$-空間の幾何的モデルを構築すること。
• 特に $\Gamma_3 \subset SO(3,1)$ である、$SO(n,1)$ における格子をなすコックスター群の、最大の無限 virtually cyclic 部分群を分類すること。
• $\mathbb{Z}\Gamma_3$ の下部代数的 $K$-理論を、構築した分類空間と Farrell-Jones 同型予想を用いて計算すること。
• $\tilde{K}_0(\mathbb{Z}\Gamma_3)$ および $Wh(\Gamma_3)$ に現れる Waldhausen Nil-群を明示的に特定すること。

提案手法

• 相対的双曲的群の場合に、既知の $E_{\mathcal{F}\mathcal{I}\mathcal{N}}(\Gamma)$ モデルから $E_{\mathcal{V}\mathcal{C}}(\Gamma)$ を構成するための適応された族構成法の使用。
• 相対的双曲的群における Dahmani の $E_{\mathcal{F}\mathcal{I}\mathcal{N}}(\Gamma)$ モデルを活用し、$\mathcal{V}\mathcal{C}$ に対する分類空間を構築すること。
• $\Gamma_3$-作用の下での $\mathbb{H}^3$ 内の測地線をタイプ I, II, III に分類し、その安定化部分群を解析して同型型を特定すること。
• タイプ I 測地線の安定化部分群の解析に BASS-Serre 理論を適用する。タイプ II や III に用いられる短完全列のアプローチは、これらに対しては適用できない。
• Farrell-Jones 同型予想を用いて、構築した $E_{\mathcal{V}\mathcal{C}}(\Gamma_3)$ 上での等配向ホモロジー計算に帰着させ、下部 $K$-群の計算を簡略化すること。
• F.T. Farrell が提案する技術を用いて、$\mathbb{Z}[D_2]$ および $\mathbb{Z}[D_3]$ の Waldhausen Nil-群を明示的に計算し、$\tilde{K}_0(\mathbb{Z}\Gamma_3)$ および $Wh(\Gamma_3)$ の完全な計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相対的双曲的群における virtually cyclic 部分群の族に対する分類空間をどのように構築できるか。
• RQ2 $SO(n,1)$ において格子をなすコックスター群における、最大の無限 virtually cyclic 部分群の構造は何か。
• RQ3 $\Gamma_3$ が $SO(3,1)$ 内の非均一格子であるとき、整数群環 $\mathbb{Z}\Gamma_3$ の下部代数的 $K$-理論は何か。
• RQ4 $\Gamma_3$ の $K$-理論に現れる Waldhausen Nil-群は何か。そして、それらをどのように明示的に計算できるか。

主な発見

• 本稿は、$\Gamma_3$ の virtually cyclic 部分群の族に対する 8 次元の分類空間 $E_{\mathcal{V}\mathcal{C}}(\Gamma_3)$ を構築する。
• $\Gamma_3$ の最大の無限 virtually cyclic 部分群は、それらが安定化する測地線のタイプに応じて $\mathbb{Z}$, $D_\infty$, $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2$, または $D_\infty \times \mathbb{Z}/2$ に分類される。
• $n \leq -1$ に対して、$K_n(\mathbb{Z}\Gamma_3)$ の下部代数的 $K$-理論群が Farrell-Jones 同型予想を用いて明示的に計算される。
• $\tilde{K}_0(\mathbb{Z}\Gamma_3)$ および Whitehead 群 $Wh(\Gamma_3)$ は計算され、$\mathbb{Z}[D_2]$ および $\mathbb{Z}[D_3]$ の Waldhausen Nil-群を含むことが示される。
• 本稿は、$\mathbb{Z}[D_2]$ および $\mathbb{Z}[D_3]$ の Waldhausen Nil-群の初めての明示的計算を提供し、$K$-理論計算における重要な要素を解消する。
• 本研究は、非自明な Nil-群を有する単純なリー群の格子における下部代数的 $K$-理論の完全な計算を初めて提示する。