[論文レビュー] Relative linear extensions of sextic del Pezzo fibrations

Takeru Fukuoka|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、曲線上の六次デル ペッツォ・ファイブレーションに対して相対的線形拡張理論を確立し、$(\mathbb{P}^1)^3$-および$(\mathbb{P}^2)^2$-ファイブレーションにおける相対的線形切断として埋め込まれることを証明する。$(-K_X)^3$および$h^{1,2}(X)$の明示的公式を導出し、特異ファイバーを分類し、Fujitaが提起した非正則ファイバーの存在に関する問いを、相対的二重射影による構成によって解決する。

ABSTRACT

In this paper, we study a sextic del Pezzo fibration over a curve comprehensively. We obtain certain formulae of several basic invariants of such a fibration. We also establish the embedding theorem of such a fibration which asserts that every such a fibration is a relative linear section of a Mori fiber space with the general fiber $(\mathbb{P}^{1})^{3}$ and that with the general fiber $(\mathbb{P}^{2})^{2}$. As an application of this embedding theorem, we classify singular fibers of such a fibrations and answer a question of T. Fujita about existence of non-normal fibers.

研究の動機と目的

• 文献において未解決であった六次デル ペッツォ・ファイブレーションに対する相対的線形埋め込み理論を拡張すること。
• このようなファイブレーションの基本的不変量$(-K_X)^3$および$h^{1,2}(X)$の明示的公式を導出すること。
• 曲線上の六次デル ペッツォ・ファイブレーションの可能な特異ファイバーを分類すること。
• Fujitaが提起した、このようなファイブレーションにおける非正則ファイバーの存在に関する問いを解決すること。
• 埋め込みおよび分類の主要な道具として、相対的二重射影の構成を確立すること。

提案手法

• 点からの$(\mathbb{P}^1)^3$および$(\mathbb{P}^2)^2$における相対的二重射影を用いて、ファイブレーションの埋め込みを構成する。
• 層の相対的普遍拡張理論を適用し、理想層の$f$-普遍拡張を構築する。
• 相対的Ext層の形式的記法と双対性を用いて、ファイブレーションのコホホロジー的性質を分析する。
• 特異ファイバーの分類を、$π$-写像および関連する被覆を用いたデル ペッツォ表面の退化の研究に還元する。
• 相対的埋め込み定理を用いて、任意の六次デル ペッツォ・ファイブレーションが一般ファイバーが$(\mathbb{P}^1)^3$または$(\mathbb{P}^2)^2$であるモアリ・ファイブレーションの相対的線形切断として現れることを示す。
• 二次ファイブレーションに関連する二重被覆の理論を適用し、マルチセクションを持つ曲面族上のネフバンドルを特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲線上の六次デル ペッツォ・ファイブレーションは、ファイバー型が$(\mathbb{P}^1)^3$または$(\mathbb{P}^2)^2$である高次元ファイブレーションにおける相対的線形切断として埋め込むことができるか？
• RQ2 基底曲線および関連する被覆を用いて、不変量$(-K_X)^3$および$h^{1,2}(X)$の正確な公式は何か？
• RQ3 曲線上の六次デル ペッツォ・ファイブレーションに現れる可能性のある特異ファイバーの種類は何か？
• RQ4 Fujitaが提起した問いに従い、このようなファイブレーションに非正則ファイバーが存在するか？
• RQ5 相対的二重射影は、これらのファイブレーションの構成および分類にどのように用いることができるか？

主な発見

• 任意の曲線上の六次デル ペッツォ・ファイブレーションは、一般ファイバーが$(\mathbb{P}^1)^3$であるモアリ・ファイブレーションの相対的線形切断として現れ、新しい埋め込み定理を確立する。
• 任意の曲線上の六次デル ペッツォ・ファイブレーションは、一般ファイバーが$(\mathbb{P}^2)^2$であるモアリ・ファイブレーションの相対的線形切断としても現れ、次数6における相対的埋め込みプログラムを完全に達成する。
• 関連する二重被覆$B \to C$および$T \to C$の不変量を用いて、$(-K_X)^3$および$h^{1,2}(X)$の明示的公式を導出する。
• 特異ファイバーの分類は、デル ペッツォ表面の退化に対応する二つの新しいファイバー型$\mathbb{P}^{2,2}$および$\mathbb{P}^{1,1,1}$の構成により達成される。
• 本稿は、六次デル ペッツォ・ファイブレーションにおける非正則ファイバーの明示的例を構成し、Fujitaの問いに対して肯定的に答えを提示する。
• 相対的二重射影の構成は、基底およびファイバー構造の退化を介して、埋め込みを実現し、特異ファイバーを分類する幾何的メカニズムを提供する。