[論文レビュー] Relative p-adic Hodge theory: Foundations

Kiran S. Kedlaya, Ruochuan Liu|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 59被引用数 88

ひとこと要約

本論文は、ウィットベクトル構成と非アルキメデス的解析幾何を用いて、相対的p進ホッジ理論の基礎的枠組みを確立し、エタール局所系と相対的ロッバ環上のφ-加群を統一する。主な貢献は、Q_p-ベクトル空間上の連続的ガロア表現と、完備化されたバナッハ代数上のエタールφ-加群の間の自然な同値関係を確立することであり、アディック空間およびペルフェクトイド空間を介して、古典的な(φ,Γ)-加群理論を相対的および幾何的状況に拡張する。

ABSTRACT

We describe a new approach to relative p-adic Hodge theory based on systematic use of Witt vector constructions and nonarchimedean analytic geometry in the style of both Berkovich and Huber. We give a thorough development of phi-modules over a relative Robba ring associated to a perfect Banach ring of characteristic p, including the relationship between these objects and etale Z_p-local systems and Q_p-local systems on the algebraic and analytic spaces associated to the base ring, and the relationship between etale cohomology and phi-cohomology. We also make a critical link to mixed characteristic by exhibiting an equivalence of tensor categories between the finite etale algebras over an arbitrary perfect Banach algebra over a nontrivially normed complete field of characteristic p and the finite etale algebras over a corresponding Banach Q_p-algebra. This recovers the homeomorphism between the absolute Galois groups of F_p((pi)) and Q_p(mu_{p^infty}) given by the field of norms construction of Fontaine and Wintenberger, as well as generalizations considered by Andreatta, Brinon, Faltings, Gabber, Ramero, Scholl, and most recently Scholze. Using Huber's formalism of adic spaces and Scholze's formalism of perfectoid spaces, we globalize the constructions to give several descriptions of the etale local systems on analytic spaces over p-adic fields. One of these descriptions uses a relative version of the Fargues-Fontaine curve.

研究の動機と目的

• ウィットベクトルと非アルキメデス的解析幾何を用いて、相対的p進ホッジ理論の体系的理論を構築すること。
• 特徴的pの完備バナッハ環上での古典的(φ,Γ)-加群理論を相対的状況に一般化すること。
• 相対的およびペルフェクトイド的文脈におけるエタール局所系、φ-加群、B-ペアの間の同値関係を確立すること。
• ファルガス＝フォンテーヌ曲線に基づく幾何的枠組みを用いて、プロエタールコホモロジーとφ-コホモロジーを統一すること。
• ペルフェクトイドおよびアディック形式主義を用いて、F_p((π))のガロア群とQ_p(μ_p^∞)のガロア群の間の「ノームの体」同値関係を回復・拡張すること。

提案手法

• p進ホッジ理論における混合特徴的と等特徴的状況を結ぶために、ウィットベクトル構成を用いる。
• ハッバーのアディック空間とショルツェのペルフェクトイド空間を用いて、p進体上の解析的空間へ局所的構成をグローバル化する。
• 相対的ロッバ環とその上のφ-加群を構築し、エタールZ_p-局所系およびQ_p-局所系をモデル化する。
• ファミリーにおける傾き理論と純粋性フィルトレーションを用いて、相対的環上のφ-加群を分析する。
• G_K-不変ベクトルバンドルをパラメトライズするための、ファルガス＝フォンテーヌ曲線の相対的バージョンを構成する。
• アフィノイドバナッハ環上の有限生成射影モジュールの降下および貼り合わせ技術を用いて、幾何的整合性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴的pの完備バナッハ環上での(φ,Γ)-加群は、どのように相対的状況に一般化できるか？
• RQ2 p進解析的空間上のエタール局所系と相対的ロッバ環上のφ-加群の間の関係は何か？
• RQ3 相対的およびペルフェクトイド的文脈において、プロエタールコホモロジーとφ-コホモロジーはどのように関係するか？
• RQ4 ペルフェクトイドおよびアディック幾何を用いて、Gal(Q_p(μ_p^∞))とGal(F_p((π)))の間の「ノームの体」同値関係を回復・一般化できるか？
• RQ5 相対的ファルガス＝フォンテーヌ曲線は、G_K-不変ベクトルバンドルを分類する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 連続的ガロア表現（Q_p-ベクトル空間上）と、完璧化されたバナッハ代数上のエタールφ-加群の間の自然な同値関係が確立された。
• 本論文は、特徴的pの完備バナッハ代数上の有限エタール代数とその混合特徴的対応物との間の一般同値関係の特別な場合として、Gal(F_p((π)))とGal(Q_p(μ_p^∞))の間の「ノームの体」同値関係を回復した。
• B_K^daggerやC_Kを含む、さまざまな周期環上のエタール(φ,Γ)-加群が、ガロア表現と自然に同値であることが示された。
• G_K-不変ベクトルバンドルをアディック空間上で分類するための、ファルガス＝フォンテーヌ曲線の相対的バージョンが構成された。
• プロエタールコホモロジーはφ-コホモロジーを用いて計算され、ヘールおよび第二著者の古典的結果が拡張された。
• Spa(K, o_K)上のB-ペアの圏は、相対的ファルガス＝フォンテーヌ曲線上の関数環上のφ-加群の圏と同値である。