[論文レビュー] Relative $(p,\epsilon)$-Approximations in Geometry

Sariel Har-Peled, Micha Sharir|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2009

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 32被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、有限VC次元をもつ幾何的範囲空間に対して相対的$(p,\varepsilon)$-近似を導入し、2次元および3次元における近似半空間範囲計数のための近似サイズを小さくし、クエリ効率を向上させる、新しい構成法を提示する。重みに敏感なスパニング木と近似レベル分解を用いることで、サブクアドレティックな事前処理とポリログラミックなクエリ時間の両方を達成する。

ABSTRACT

We re-examine the notion of relative $(p,\\eps)$-approximations, recently introduced in [CKMS06], and establish upper bounds on their size, in general range spaces of finite VC-dimension, using the sampling theory developed in [LLS01] and in several earlier studies [Pol86, Hau92, Tal94]. We also survey the different notions of sampling, used in computational geometry, learning, and other areas, and show how they relate to each other. We then give constructions of smaller-size relative $(p,\\eps)$-approximations for range spaces that involve points and halfspaces in two and higher dimensions. The planar construction is based on a new structure--spanning trees with small relative crossing number, which we believe to be of independent interest. Relative $(p,\\eps)$-approximations arise in several geometric problems, such as approximate range counting, and we apply our new structures to obtain efficient solutions for approximate range counting in three dimensions. We also present a simple solution for the planar case.

研究の動機と目的

• 有限VC次元をもつ範囲空間における相対的$(p,\varepsilon)$-近似のサイズに対するタイトな上界を確立すること。
• 2次元およびそれ以上の次元における点と半空間のための、より小さいサイズの相対的近似を構築すること。
• 新たな幾何的構造を活用することで、3次元における近似半空間範囲計数の効率を向上させること。
• 計算幾何学、学習理論、組合せ論から得られる異なるサンプリング概念を統一し、関連づけること。
• マトゥーシェクの浅い分割定理を2次元において重み付き・相対的設定に拡張し、高次元における類似定理を検討すること。

提案手法

• LLS01からのサンプリング理論の観点から相対的$(p,\varepsilon)$-近似を再解釈し、$(\nu,\alpha)$-サンプルと関連付ける。
• 2次元における主要構造として、相対的交差数が小さいスパニング木を導入し、近似サイズの向上を図るために重みに敏感に適合させる。
• 浅い分割定理を用いて、3次元で$O(\varepsilon^{-1} \log n)$個の近似レベルの列を構築し、効率的な範囲クエリを可能にする。
• クエリ点が近似レベルの相対的位置を特定するため、投影平面上のマップに対して二分探索を適用し、各ステップで平面上の点位置を求める。
• 多面体的表面の列をデータ構造に格納し、$O(\log(\varepsilon^{-1} \log n) \cdot \log(\varepsilon^{-1} n))$のクエリ時間を実現する。
• 事前処理および記憶コストが$O((n/\varepsilon^{O(1)}) \log^{O(1)} n)$となるように構成を組み合わせ、近線形空間とサブクアドレティックな事前処理を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限VC次元をもつ範囲空間における相対的$(p,\varepsilon)$-近似の最小サイズは何か？
• RQ2 相対的交差数が小さいスパニング木を効率的に構築でき、2次元におけるより小さい近似の構築に利用できるか？
• RQ3 3次元半空間範囲空間における相対的$(p,\varepsilon)$-近似を、より高いクエリ効率で拡張できるか？
• RQ4 幾何的範囲空間において、浅い分割定理を重み付き・相対的設定でどれほど強化できるか？
• RQ5 近線形空間を維持しつつ、近似3次元半空間範囲計数のクエリ時間を$O(\varepsilon^{-2} \log^2 n)$未満に改善できるか？

主な発見

• 本稿では、有限VC次元をもつ範囲空間において、サイズ$O(\varepsilon^{-2} \log n)$の相対的$(p,\varepsilon)$-近似が存在することを確立し、既知のサンプリング境界と一致する。
• 2次元では、相対的交差数が小さい重みに敏感なスパニング木の構築により、サイズ$O(\varepsilon^{-1} \log n)$の相対的$(p,\varepsilon)$-近似が得られ、標準的な${\varepsilon}$-近似よりも優れている。
• 3次元半空間範囲計数では、提案されたデータ構造が、$O((n/\varepsilon^{O(1)}) \log^{O(1)} n)$の事前処理および記憶コストを伴い、$O(\log(\varepsilon^{-1} \log n) \cdot \log(\varepsilon^{-1} n))$のクエリ時間でクエリを処理可能である。
• 従来の研究に比べて顕著な改善が達成されており、クエリ時間は$\Omega(\varepsilon^{-2} \log^2 n)$から$n$に関してサブクアドレティック、$\varepsilon^{-1}$に関してポリログラミックに短縮された。
• 3次元における近似レベルの構築には$O(\varepsilon^{-1} \log n)$個の表面が使用され、効率的な二分探索と各ステップにおける平面上の点位置が可能になる。
• 本手法はマトゥーシェクの浅い分割定理を2次元で一般化・強化しており、弱い保証を伴うが高次元への拡張が可能であると示唆している。