[論文レビュー] Relative Robust Portfolio Optimization

Raphael Hauser, V. Krishnamurthy+1 more|arXiv (Cornell University)|May 1, 2013

Risk and Portfolio Optimization参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、平均・分散ポートフォリオ選択における不確実性に対処する相対的ロバストポートフォリオ最適化フレームワークを提案する。これは、絶対的最悪性能ではなく、シナリオ別最適ポートフォリオに対する最大の後悔を最小化することに焦点を当てる。多面体的および楕円体的不確実性の下で、相対的ロバスト問題の実用的で解釈可能な内側・外側近似を、凸錐最適化に基づいて提供し、主な資産運用シナリオにおいて理論的保証を維持しつつ、実装可能であることを示す。

ABSTRACT

Considering mean-variance portfolio problems with uncertain model parameters, we contrast the classical absolute robust optimization approach with the relative robust approach based on a maximum regret function. Although the latter problems are NP-hard in general, we show that tractable inner and outer approximations exist in several cases that are of central interest in asset management.

研究の動機と目的

• 古典的な絶対的ロバスト最適化が最悪の目的値に焦点を当てるため、極端なシナリオによって不適切にペナルティを受けるという、ポートフォリオ管理における限界を是正すること。
• 各シナリオにおける最適解との相対的なパフォーマンスで評価される、後悔最小化に基づく相対的ロバスト最適化フレームワークを構築し、実世界の投資パフォーマンス評価とより整合性をもたせること。
• 一般にNP困難である相対的ロバストポートフォリオ最適化問題に対して、計算的に解釈可能な近似を提供すること。特に連続最適化設定において重要である。
• 離散問題にとどまらず、資産管理に関連する連続的二次および凸錐最適化問題へ、相対的ロバスト最適化の適用範囲を拡張すること。
• 特に多面体的および楕円体的不確実性集合において、凸解析と凸錐プログラミングを用いた、相対的ロバスト定式化の解釈可能性の十分かつ必要条件を確立すること。

提案手法

• 後悔を、各シナリオにおけるポートフォリオの目的値とそのシナリオ別最適値との差として定義し、相対的ロバストポートフォリオ最適化問題をミニマックス後悔問題として定式化する。
• 双対性と凸解析を活用して、三段階の相対的ロバスト問題を、凸錐最適化技術により単一の段階の決定的問題に変換する。
• S-lemmおよび一般化S-lemmを用いて、特に二次および第二順序錐制約の下で、相対的ロバスト問題の可解性の十分条件を導出する。
• 凸包による不確実性集合（多面体的）および楕円体的不確実性集合を用いて、相対的ロバスト解集合の内側・外側近似を導出する。これにより、計算が効率的に行える。
• シュール補題および行列分解技術を用いて、問題を第二順序錐プログラミング（SOCP）または半正定値プログラミング（SDP）に適した形に再定式化する。
• 元の問題をより高次元の空間に埋め込むためのリフト技術を導入し、相対的ロバスト性条件が凸錐への属性として表現されるようにし、凸錐最適化による解釈可能な解法を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相対的ロバスト最適化は、不確実パrameterを有する連続的ポートフォリオ最適化問題、特に平均・分散モデルにどのように適応できるか？
• RQ2 相対的ロバストポートフォリオ最適化における計算上の課題は何か？ これらは、解釈可能な近似によって緩和可能か？
• RQ3 どのような不確実性構造（例：多面体的、楕円体的）において、相対的ロバストポートフォリオ問題が効率的な凸錐プログラミングの再定式化を許容するか？
• RQ4 凸解析と凸錐プログラミングを用いて、相対的ロバストポートフォリオ問題の解釈可能性の十分かつ必要条件を導出可能か？
• RQ5 相対的ロバスト手法は、古典的な絶対的ロバスト最適化および標準的な平均・分散最適化と比較して、パフォーマンスおよびロバスト性においてどのように異なるか？

主な発見

• 一般にNP困難である相対的ロバストポートフォリオ最適化問題は、多面体的および楕円体的不確実性集合の下で、解釈可能な内側・外側近似を有する。
• 頂点数が1つまたは2つの多面体的不確実性（m_g ∈ {0,1}）では、相対的ロバスト問題は第二順序錐プログラム（SOCP）の集合に還元され、内点法による効率的解法が可能になる。
• 本稿では、相対的ロバスト定式化が、正定値行列と特定の錐生成行列の和を含む凸錐可解問題と等価であることを示し、緩い条件下で正確な特徴付けが可能であることを確立した。
• S-lemmおよび一般化S-lemmの使用により、相対的ロバスト問題の可解性の十分条件を導出可能であり、頂点数が少ない場合には必要条件としても成立する。
• 提案手法により、資産運用者が、最悪の絶対的パフォーマンスではなく、シナリオ別最適ポートフォリオに対する相対的劣化を回避するロバストなポートフォリオを構築する実用的フレームワークが提供される。
• 理論的結果により、相対的ロバスト手法は、標準的な平均・分散最適化よりも滑らかな解マップと、パラメータの不確実性下でも優れたアウト・オブ・サンプル性能を示すことが判明した。