[論文レビュー] Relative Yamabe Invariant

Kazuo Akutagawa, Boris Botvinnik|ArXiv.org|Aug 17, 2000

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、境界に固定された共形類を想定する設定における古典的ヤマベ不変量の一般化として、コンパクトなリーマン多様体の境界を持つ場合の相対ヤマベ不変量を導入する。正規化されたアインシュタイン＝ヒルベルト汎関数とグルーピング技術を用いて、相対ヤマベ計量の存在定理を確立し、多くの多様体に対してこの不変量が正であることを証明する。これにより、幾何解析におけるpsc-コボルディズムおよび同相型の共形的類似が得られる。

ABSTRACT

We define a relative Yamabe invariant of a smooth manifold with given conformal class on its boundary. In the case of empty boundary the invariant coincides with the classic Yamabe invariant. We develop approximation technique which leads to gluing theorems of two manifolds along their boundaries for the relative Yamabe invariant. We show that there are many examples of manifolds with both positive and non-positive relative Yamabe invariants.

研究の動機と目的

• 境界に固定された共形類を想定する設定における、コンパクト多様体の相対ヤマベ不変量を定義し、古典的ヤマベ不変量を一般化する。
• 境界に沿って多様体をグルーピングする際、相対ヤマベ不変量を保つことができる近似技術を開発する。
• エスカボールの条件のもとで、相対ヤマベ計量の存在を確立し、この不変量が正規化されたアインシュタイン＝ヒルベルト汎関数の臨界点によって実現されることを証明する。
• psc-コボルディズムおよび同相型の共形的類似を探索し、相対ヤマベ不変量を用いて共形的合同関係およびコボルディズム関係を導入する。

提案手法

• 境界上で平均曲率がゼロとなるように、正の関数による共形スケーリングを用いて、$\bar{C}$ に属する計量の集合 $\bar{C}^0$ を正規化された共形類として定義する。
• 多様体 $W$ 上の $\mathcal{R}^0_{C}(W,M)$ 上で、$I(\bar{g}) = \int_W R_{\bar{g}} d\sigma_{\bar{g}} / \mathrm{Vol}_{\bar{g}}(W)^{(n-2)/n}$ として定義される正規化されたアインシュタイン＝ヒルベルト汎関数を導入し、その臨界点は境界上で平均曲率がゼロであるアインシュタイン計量であることを示す。
• 正規化されたアインシュタイン＝ヒルベルト汎関数 $I$ の $\mathcal{R}^0_{C}(W,M)$ 上の臨界点が、$\bar{C}^0$ 内で $I$ の下界を達成する相対ヤマベ計量に一致することを証明する。
• partition of unity を用いた共形変形と近似解の構成により、グルーピングされた多様体上でのヤマベ問題に対する近似解を得ることで、相対ヤマベ不変量に関するグルーピング定理を確立する。
• 相対ヤマベ不変量 $Y(W,M;C) = \sup_{\bar{C}: \partial\bar{C}=C} Y_{\bar{C}}(W,M;C)$ を定義し、明示的構成により多くの多様体に対して正であることを示す。
• 条件 $Y(W,M_0\sqcup(-M_1);C_0\sqcup C_1) > 0$ を用いて、共形的合同関係およびコボルディズム関係を導入し、これらが同値関係であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界に固定された共形類が与えられた場合、古典的ヤマベ不変量は境界を持つ多様体へ一般化可能か？
• RQ2 相対ヤマベ不変量が、正規化された共形類内の臨界計量によってその上界を達成するための条件は何か？
• RQ3 境界に沿って多様体をグルーピングする際、相対ヤマベ不変量の制御を保ちながら行う方法は何か？
• RQ4 psc-コボルディズムの共形的類似は存在するか？もしあるならば、相対ヤマベ不変量によって特徴づけられるか？
• RQ5 正の共形類の共形的合同関係と同相型の関係は何か？

主な発見

• 相対ヤマベ不変量 $Y(W,M;C)$ は適切に定義されており、$\bar{C}^0$ 上での正規化されたアインシュタイン＝ヒルベルト汎関数の下界に一致し、古典的ヤマベ不変量を一般化する。
• 任意の $n \geq 3$ に対して、汎関数 $I$ は $\mathcal{R}^0_C(W,M)$ 上で下界も上界も持たないが、相対ヤマベ定数 $Y_{\bar{C}}(W,M;C)$ は有限であり、正または非正のいずれにもなり得る。
• エスカボールの条件 (a)–(d) の下で、相対ヤマベ定数は $\bar{C}^0$ に属する計量 $\check{g}$ によって達成され、これは定数スカラー曲率をもつ相対ヤマベ計量である。
• 相対ヤマベ不変量はグルーピング定理を満たす：2つの多様体が境界に沿ってグルーピングされると、結果の多様体の不変量は、各成分の不変量の最小値によって下から抑えられる。
• 共形的合同関係は $\mathcal{C}^+(M)$ 上の同値関係であり、$Y(W,M_0\sqcup(-M_1);C_0\sqcup C_1) > 0$ によって定義され、著者らはこれが共形類の同相型を意味すると予想している。
• 正の共形多様体上で、共形的コボルディズムは同値関係であり、$Y(W,M_0\sqcup(-M_1);C_0\sqcup C_1) > 0$ によって定義され、共形コボルディズム群の定義に応用可能である可能性を有する。