[論文レビュー] Relatively free associative algebras of ranks 2 and 3 with Lie nilpotency identity and systems of generators for some T-spaces

S. V. Pchelintsev|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2018

Advanced Topics in Algebra被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、2または3のランクをもつ、2または3でない特性をもつ体上の相対的自由な可換代数について検討し、$n \geq 3$ に対して Lie ニローペンシー恒等式 $[x_1,\dots,x_n]=0$ を満たすものである。ランク3代数において、$T^{(m)}T^{(n)} \subseteq T^{(m+n-1)}$ という重要な包含関係を確立し、3変数の恒等式を特徴づけ、$ \mathrm{char}(K) \geq 5$ のとき、中心 $Z(F_r^{(n)})$ が $(T^{(n-1)} + Z_q)(F_r^{(n)})$ に等しいことを証明する。ここで $q$ は $q \geq n-1$ を満たす最小の $p=\mathrm{char}(K)$ のべきである。また、$n \geq 4$ かつ $ \mathrm{char}(K) \geq n$ のとき、$F_2^{(n)}$ が、真の T-空間商を持たない T-イデアルの有限な厳密降下列の組成系列をもつことを示した。

ABSTRACT

We study relatively free associative algebras $F^{(n)}_r$ of ranks $r=2,3$ with the identity $[x_1,\dots, x_n]=0$ of Lie nilpotency of step $n\geqslant 3$ over a field $K$ of characteristic $ eq 2,3$. First we prove a Theorem on the inclusion $ T^{(m)}T^{(n)}\subseteq T^{(m+n-1)}$ for an associative algebra $A$ of rank $3$, where $T^{(n)}=T^{(n)}(A)$ is a T-ideal of $A$ generated by the commutator $[x_1,\dots, x_n]$; the restriction on rank is essential. Further, we describe 3-variable identities of the algebra $F^{(n)}$. In particular, the obtained description implies that $Z(F^{(n)}_r)=(T^{(n-1)}+Z_q)(F^{(n)}_r)$, where $p=\mathrm{char}(K)\geqslant 5$ and $q$ is a least power of $p$ such that $q\geqslant n-1$ and $Z_q$ is a T-space generated by $x^q$. We also prove the equality $Z(F^{(n)}_2)=F^{(n)}_2\cap Z(F^{(n)})$. Finally, we obtain certain generalizations and refinements of some results by A. V. Grishin and V. V. Shchigolev, respectively. For example, we prove that a unital algebra $F^{(n)}_2$ $(n\geqslant 4)$ over a field $K$ of characteristic $p\geqslant n$ possesses a finite strictly descending "composition" series of T-ideals $T^{(3)}=T_1\supset T_2\supset \dots \supset T_k\supset T_{k+1}=0$ such that each quotient $T_i/T_{i+1}$ does not contain any proper T-spaces. Key words: Lie nilpotency identity, center, kernel, proper polynomial, 3-variable identity, T-space.

研究の動機と目的

• 相対的自由な可換代数 $F_r^{(n)}$（$r=2,3$）の構造を分析すること。ここで、$n \geq 3$ に対して Lie ニローペンシー恒等式 $[x_1,\dots,x_n]=0$ を満たす。
• ランク3の可換代数において、基本的包含関係 $T^{(m)}T^{(n)} \subseteq T^{(m+n-1)}$ を確立し、ランクがこのような恒等式における役割を明らかにすること。
• $F_r^{(n)}$ における3変数の恒等式を記述し、特に中心 $Z(F_r^{(n)})$ を $T^{(n-1)}$ および $Z_q$（$x^q$ によって生成される T-空間）を用いて特徴づけること。
• Grishin および Shchigolev の結果を一般化・精緻化すること。特に、半単純的商を持つ有限な T-イデアルの組成系列の存在に関する結果。

提案手法

• 非可換多項式恒等式における T-イデアルおよび T-空間理論を用い、Lie の交換子 $[x_1,\dots,x_n]$ を定義的恒等式として焦点を当てる。
• 特性 $\neq 2,3$ の体上の可換代数の構造的解析に注力し、特に $ \mathrm{char}(K) \geq 5$ の場合に注目する。
• 包含関係 $T^{(m)}T^{(n)} \subseteq T^{(m+n-1)}$ の証明は、Lie 多項式の組合せ的性質とランク3の制限に依存する。
• 中心 $Z(F_r^{(n)})$ は、$T^{(n-1)}$ と $Z_q$ への分解により決定され、ここで $Z_q$ は $x^q$ によって生成される T-空間であり、$q$ は $q \geq n-1$ を満たす最小の $p=\mathrm{char}(K)$ のべきである。
• $n \geq 4$ かつ $ \mathrm{char}(K) \geq n$ のとき、$F_2^{(n)}$ に対して、各商 $T_i/T_{i+1}$ が真の T-空間を含まない有限な厳密降下列の T-イデアル $T^{(3)} = T_1 \supset T_2 \supset \cdots \supset T_k \supset T_{k+1} = 0$ を構成する。
• Grishin および Shchigolev が得た既知の T-イデアルフィルトレーションに関する結果を活用し、Lie ニローペンシーの文脈に拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相対的自由な可換代数 $F_r^{(n)}$（ランク $r=2,3$）で、Lie ニローペンシー恒等式 $[x_1,\dots,x_n]=0$ を満たすとき、中心 $Z(F_r^{(n)})$ の構造はいかなるものか？
• RQ2 ランク3の可換代数において、包含関係 $T^{(m)}T^{(n)} \subseteq T^{(m+n-1)}$ は成立するか？また、ランク制限は本質的か？
• RQ3 $n \geq 4$ かつ $ \mathrm{char}(K) \geq n$ のとき、$F_2^{(n)}$ に対して、各商が真の T-空間を含まない有限な厳密降下列の T-イデアルの組成系列を構成できるか？
• RQ4 $F_r^{(n)}$ における3変数の恒等式は、T-イデアル構造および中心とどのように関係するか？
• RQ5 Grishin および Shchigolev が T-イデアルフィルトレーションに関して得た結果は、どの程度 Lie ニローペンシーの文脈に一般化できるか？

主な発見

• ランク3の可換代数において、包含関係 $T^{(m)}T^{(n)} \subseteq T^{(m+n-1)}$ は成立するが、ランク制限は本質的であり、より高いランクでは成立しない。
• 中心 $Z(F_r^{(n)})$ は、$Z(F_r^{(n)}) = (T^{(n-1)} + Z_q)(F_r^{(n)})$ を満たす。ここで $q$ は $p=\mathrm{char}(K) \geq 5$ に対して $q \geq n-1$ を満たす最小のべきであり、$Z_q$ は $x^q$ によって生成される T-空間である。
• $n \geq 4$ かつ $ \mathrm{char}(K) \geq n$ のとき、$F_2^{(n)}$ に対して、$T^{(3)} = T_1 \supset T_2 \supset \cdots \supset T_k \supset T_{k+1} = 0$ という有限な厳密降下列の T-イデアルの組成系列が存在し、各商 $T_i/T_{i+1}$ は真の T-空間を含まない。
• $F_2^{(n)}$ の中心は、$Z(F_2^{(n)}) = F_2^{(n)} \cap Z(F^{(n)})$ を満たし、自由代数の中心と相対的自由代数の中心との整合性が示された。
• 本稿は、$F_r^{(n)}$ における3変数の恒等式を完全に記述し、中心の構造および T-イデアル格子の背後にある基盤を明らかにした。
• Grishin および Shchigolev の先行研究を一般化・精緻化し、特に T-イデアルフィルトレーションおよび組成系列における真の T-空間商の不在という点で、顕著な進展が得られた。