[論文レビュー] Relatively Prime Sets, Divisor Sums, and Partial Sums

Prapanpong Pongsriiam|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2013

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、{1, 2, ..., n} の相対的素数部分集合の数 f(n) および関連関数 Φ(n) と D(n) を調査する。ここで D(n) は f(d) の約数和である。Möbius の反転公式と組合せ的恒等式を用いて、部分和と漸近的極限を導出し、f(n)、Φ(n)、D(n) の部分和が 2^{N+1} に非常に近いことを示している。limsup と liminf の正確な振る舞いも特定されている。主な結果として、D(n) + d(n) + 1 ≡ 0 (mod 3) という合同式と、D(n) が gcd が n を割る部分集合の数としての組合せ的解釈が得られている。

ABSTRACT

For a nonempty finite set $A$ of positive integers, let $\gcd\left(A ight)$ denote the greatest common divisor of the elements of $A$. Let $f\left(n ight)$ and $Φ\left(n ight)$ denote, respectively, the number of subsets $A$ of $\left\{1, 2, \ldots, n ight\}$ such that $\gcd\left(A ight) = 1$ and the number of subsets $A$ of $\left\{1, 2, \ldots, n ight\}$ such that $\gcd\left(A\cup\left\{n ight\} ight) =1$. Let $D\left(n ight)$ be the divisor sum of $f\left(n ight)$. In this article, we obtain partial sums of $f\left(n ight)$, $Φ\left(n ight)$ and $D\left(n ight)$. We also obtain a combinatorial interpretation and a congruence property of $D\left(n ight)$. We give open questions concerning $Φ\left(n ight)$ and $D\left(n ight)$ at the end of this article.

研究の動機と目的

• f(n) が {1,2,…,n} の相対的素数部分集合の数であることを踏まえ、f(n)、Φ(n)、D(n) の部分和の漸近的挙動を分析すること。
• f(n)、Φ(n)、D(n) の部分和の期待値 2^{N+1} からの逸脱の正確な漸近的極限を導出すること。
• D(n) が gcd(A) が n を割るような部分集合 A ⊆ {1,2,…,n} の数としての組合せ的解釈を提供すること。
• すべての n ≥ 1 に対して、D(n) + d(n) + 1 ≡ 0 (mod 3) であるという合同式を確立すること。ここで d(n) は n の正の約数の個数である。
• Φ(n) と D(n) が 2^n にどれほど近いか、およびそれらの長期的な符号の挙動と比に関する未解決の問題を提示すること。

提案手法

• Möbius の反転公式を用いて閉形式の式を導出：f(n) = ∑_{d≤n} μ(d)(2^{⌊n/d⌋} - 1) および Φ(n) = ∑_{d|n} μ(d)(2^{n/d} - 1)。
• f(n+1) = 2(Φ(n+1) + f(n)) を用いて f(n) と Φ(n) を関連付け、再帰的性質と合同式を導出する。
• 約数和 D(n) = ∑_{d|n} f(d) を用い、スケーリングされた部分集合を用いた集合の相対的素数部分集合の数え上げにより、D(n) の組合せ的解釈を確立する。
• d|n に対して A → (1/d)A の変換を用い、D(n) が gcd(A) が n を割るような A ⊆ {1,2,…,n} の部分集合の数を数えていることを示す。
• 既知の Möbius 関数の性質と ∑_{d|n} μ(d) = 0 (n > 1 のとき) の恒等式を用いて、和を簡略化し、合同式を導出する。
• 部分和 ∑_{n≤N} f(n)、∑_{n≤N} Φ(n)、∑_{n≤N} D(n) の成長を 2^{N+1} - 2 と比較して分析し、2^{N/2} を含む limsup と liminf の比を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n ≥ 4 のすべての n に対して、D(n) - Φ(n) の符号が交互に変わるか？
• RQ2 n が増加するにつれて、D(n) - Φ(n) は無限回符号を変えるか？
• RQ3 n → ∞ のとき、比 (2^n - D(n)) / (2^n - Φ(n)) の limsup と liminf の値は何か？
• RQ4 n ≥ 2 に対して、D(n) もしくは Φ(n) が完全乗数であるような n は存在するか？
• RQ5 D(n) と Φ(n) の列は、ある素数 p を法として周期的か？

主な発見

• 部分和 ∑_{n≤N} f(n) は、limsup_{N→∞} |∑_{n≤N} f(n) - 2^{N+1}| / 2^{N/2} = 3 および liminf = 2√2 を満たす。
• 部分和 ∑_{n≤N} Φ(n) は、limsup_{N→∞} |∑_{n≤N} Φ(n) - 2^{N+1}| / 2^{N/2} = 2 および liminf = √2 を満たす。
• 部分和 ∑_{n≤N} D(n) は、limsup_{N→∞} |∑_{n≤N} D(n) - 2^{N+1}| / 2^{N/2} = √2 および liminf = 1 を満たす。
• D(n) は、gcd(A) が n を割るような A ⊆ {1,2,…,n} の部分集合の数として組合せ的に解釈される。
• すべての n ≥ 1 に対して、D(n) + d(n) + 1 ≡ 0 (mod 3) を満たす。ここで d(n) は n の正の約数の個数である。
• Φ(n) と D(n) は 2^n に漸近的に近いが、4 ≤ n ≤ 15 の範囲では符号の相対的近さが交互に現れる。この傾向がこれ以降も続く可能性がある。