[論文レビュー] Relatively recursively enumerable reals

Bernard A. Anderson|arXiv (Cornell University)|May 6, 2007

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 3被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、相対的再帰的に決定可能（相対的 r.e.）な実数の概念を導入し、特徴づける。実数 X が相対的 r.e. であるための必要十分条件は、X が自分自身に e1-還元可能でないこと、すなわち X ≰e1 X であることである。非空な Π⁰₁クラスには、相対的 r.e. でない実数が含まれることを示し、相対的 r.e. だが相対的 REA でない実数の構成を行い、すべての 1-一般的実数が相対的に単純かつ上位であることを証明する。

ABSTRACT

We say that a real X is relatively r.e. if there exists a real Y such that X is r.e. (Y) and X ̸≤T Y. We say X is relatively REA if there exists such a Y ≤T X. We define A ≤e1 B if there exists a Σ1 set C such that n ∈ A if and only if there is a finite E ⊆ B with (n, E) ∈ C. In this paper we show that a real X is relatively r.e. if and only if X ̸≤e1 X. We prove that every nonempty Π 0 1 class contains a real which is not relatively r.e. We also construct a real which is relatively r.e. but not relatively REA. We say that a real X is relatively simple and above if there exists a real Y such that X is r.e. (Y) and there is no infinite Z ⊆ X such that Z is r.e. (Y). We prove that every 1-generic real is relatively simple and above. 1

研究の動機と目的

• あるオракルに関して相対的再帰的に決定可能な（相対的 r.e. な）実数のクラスを定義し、調査すること。
• 相対的 r.e. 実数と ≤e1 という還元性の概念、特に自己還元性の観点からその関係を明確にすること。
• Π⁰₁クラス内に相対的 r.e. でない実数が存在するかを検討すること。
• 相対的 r.e. と相対的 REA（相対的再帰的に決定可能上位）な実数との違いを明らかにすること。
• 1-一般的実数と、相対的に単純かつ上位であるという性質との関係を調査すること。

提案手法

• Σ1集合 C を用いて定義される還元関係 ≤e1 を導入し、n ∈ A であることと、ある有限集合 E ⊆ B が存在して (n, E) ∈ C であることとが同値であるように定義する。
• この ≤e1 関係を用いて、相対的 r.e. 実数を、X ≰e1 X を満たす X として特徴づける。
• 対角線法と優先順位論法を用いて、相対的 r.e. だが相対的 REA でない実数の構成を行う。
• 1-一般的という概念を用いて、それらが相対的に単純かつ上位であるという条件を満たすことを示す。
• Π⁰₁クラスの構造を用いて、それらの中に相対的 r.e. でない実数が存在することを示す。
• オラクルに関する再帰的可算集合の性質と、無限の再帰的可算部分集合の不在の関係を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実数 X が、X ≤T Y だが X ≰T Y を満たすオラクル Y に関して、いつ相対的 r.e. となるか？
• RQ2 還元性 ≤e1 と相対的 r.e. という性質との正確な関係は何か？
• RQ3 すべての Π⁰₁クラスには、相対的 r.e. でない実数が含まれるか？
• RQ4 相対的 r.e. であっても、相対的 REA でない実数は存在するか？
• RQ5 1-一般的実数は常に相対的に単純かつ上位であるか？

主な発見

• 実数 X が相対的 r.e. であるための必要十分条件は、X が自分自身に e1-還元可能でないこと、すなわち X ≰e1 X であることである。
• 非空な Π⁰₁クラスには、少なくとも一つの相対的 r.e. でない実数が含まれる。
• 相対的 r.e. だが相対的 REA でない実数が存在し、これは厳密な階層の存在を示している。
• すべての 1-一般的実数は相対的に単純かつ上位である。これは、あるオラクルに関して無限の再帰的可算部分集合を持たないことを意味する。
• 非-REA だが相対的 r.e. な実数の構成は、注意深いオラクル制御と対角線法に依存している。
• ≤e1 還元関係は、相対的 r.e.-ness の正確な特徴づけを提供する。