[論文レビュー] Relatively stable bundles over elliptic fibrations

C. Bartocci, U. Bruzzo+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、相対的フーリエ＝ムカイ変換を用いて、任意の基底スキーム上の楕円ファイブレーションへのアティヤの楕円曲線上の半安定ベクトル束理論の一般化を試みる。この変換が相対的（半）安定性を正の相対次数の層に対して保つことを証明し、層のモジュライ関手の間に双対性を確立する。さらに、モジュライ空間とコンパクト化相対ヤコビアンの同型を介して、相対的幾何的ラングランズ対応の幾何的実現がなされる。

ABSTRACT

We consider a relative Fourier-Mukai transform defined on elliptic fibrations over an arbitrary normal base scheme. This is used to construct relative Atiyah sheaves and generalize Atiyah's and Tu's results about semistable sheaves over elliptic curves to the case of elliptic fibrations. Moreover we show that this transform preserves relative (semi)stability of sheaves of positive relative degree.

研究の動機と目的

• 楕円曲線上の半安定ベクトル束の古典的理論を、任意の基底スキーム上の相対的設定、すなわち楕円ファイブレーションへ拡張すること。
• 相対的フーリエ＝ムカイ変換を用いて、楕円ファイブレーションの文脈で相対的アティヤ層を定義すること。
• 正の相対次数の層に対して、相対的フーリエ＝ムカイ変換が相対的（半）安定性を保つことを確立すること。
• ランク $ n $ で次数 $-1$ の相対的安定層のモジュライ空間と、コンパクト化相対ヤコビアンとの間に同型を構成すること。
• 相対的アティヤ層による層の拡張をパラメトライズする関手と、部分層がセクション上に台を持つような層をパラメトライズする関手との間に、双対性を実現すること。

提案手法

• 著者たちは、アーベルスキームのムカイの構成を一般化した、楕円ファイブレーション $ p: X \to B $ 上で定義される相対的フーリエ＝ムカイ変換を用いる。
• 彼らは、$ 0 \to \mathcal{O}_C \to \mathcal{A}_n \to \mathcal{A}_{n-1} \to 0 $ の形の完全系列を用いて、相対的設定上での相対的アティヤ層 $ \mathcal{A}_i $ を帰納的に定義する。
• 変換は正の相対次数の層に適用され、コンパクト化相対ヤコビアン $ \widehat{X} $ の性質を用いて、相対的（半）安定性との整合性が証明される。
• 関手 $ \mathbf{F}^i_X(n,d) $ と $ \mathbf{H}^i_{\widehat{X}}(d,-n) $ の間の同型を構成することで、拡張類とセクション上に台を持つねじれ層との間の双対性が確立される。
• 写像 $ (\varpi^{-1} \circ \iota, \mathbf{S}^0) $ を用いて、$ \widehat{X} \times_B \mathcal{M}(n,d) $ と $ X \times_B \mathcal{M}(d,-n) $ の間の同型が実現される。ここで $ \iota $ は $ \widehat{X} $ 上の双対化インボリューションである。
• この構成は、$ p $ のセクション $ e $ が誘導する相対的極性 $ \Theta $ と、点をねじれイデアル層に送る同型 $ \varpi: X \to \widehat{X} $ の存在に依存している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アティヤの楕円曲線上の半安定束理論を、任意の基底スキーム上の楕円ファイブレーションの相対的状況へどのように一般化できるか？
• RQ2 楕円ファイブレーション上での正の相対次数の層に対して、相対的フーリエ＝ムカイ変換が相対的（半）安定性を保つのか？
• RQ3 ランク $ n $ で次数 $-1$ の相対的安定層のモジュライ空間は、次数 $ n $ のねじれのないランク1層のコンパクト化相対ヤコビアンと自然に同一視できるか？
• RQ4 相対的アティヤ層による層の拡張をパラメトライズする関手と、セクション上に台を持つねじれ部分層を持つような層をパラメトライズする関手との間の正確な双対性は何か？
• RQ5 相対的フーリエ＝ムカイ変換は、相対的楕円的設定における幾何的ラングランズ対応とどのように関係するか？

主な発見

• 任意の基底スキーム上の楕円ファイブレーション上での正の相対次数の層に対して、相対的フーリエ＝ムカイ変換が相対的（半）安定性を保つ。
• ねじれのないランク1層の次数 $ n $ のコンパクト化相対ヤコビアン $ \widehat{J}_n $ は、自然にランク $ n $ で次数 $-1$ の相対的安定層のモジュライ空間 $ \mathcal{M}(n,-1) $ に同型である。
• 相対的アティヤ層 $ \mathcal{A}_i $ は、完全系列 $ 0 \to \mathcal{O}_C \to \mathcal{A}_n \to \mathcal{A}_{n-1} \to 0 $ を用いて、$ X $ 上の相対的設定に拡張された形で帰納的に定義される。
• 関手 $ \mathbf{F}^i_X(n,d) $ と $ \mathbf{H}^i_{\widehat{X}}(d,-n) $ は、相対的フーリエ＝ムカイ変換を介して同型であり、拡張類とセクション上に台を持つねじれ層との間の双対性を確立する。
• 同型 $ \widehat{X} \times_B \mathcal{M}(n,d) \cong X \times_B \mathcal{M}(d,-n) $ は、写像 $ (\varpi^{-1} \circ \iota, \mathbf{S}^0) $ を用いて実現され、ここで $ \iota $ は双対化インボリューションであり、$ \mathbf{S}^0 $ はモジュライ空間上の双対性を誘導する。
• 結果として、ラウモンの幾何的ラングランズ対応が相対的楕円的状況へ一般化され、ドリンフェルトの枠組みにおける作用素 $ S $ と $ T_p $ の双対性が実現される。