[論文レビュー] Relatively Uniformly Continuous Semigroups on Vector Lattices

Marko Kandić, Michael Kaplin|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2018

Advanced Banach Space Theory被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、相対一様位相 τru を用いて、ベクトルラティス上の比較的均等連続半群を導入し、Lp(R)（0 < p < 1）、Lip(R)、UC(R)、Cc(R) などのバナッハ空間でも局所凸空間でもない空間における強連続半群の研究を可能にする。熱半群、平行移動半群、およびクープマン半群がこれらの空間上で比較的均等連続であることが示され、新しい性質 (D) を用いた拡張定理が証明され、Hille-Yosida理論がベクトルラティスへ一般化される。

ABSTRACT

In this paper we study continuous semigroups of positive operators on general vector lattices equipped with the relative uniform topology $ au_{ru}$. We introduce the notions of strong continuity with respect to $ au_{ru}$ and relative uniform continuity for semigroups. These notions allow us to study semigroups on non-locally convex spaces such as $L^p(\mathbb{R})$ for $0<p<1$ and non-complete spaces such as $Lip(\mathbb{R})$, $UC(\mathbb{R})$, and $C_c(\mathbb{R})$. We show that the (left) translation semigroup on the real line, the heat semigroup and some Koopman semigroups are relatively uniformly continuous on a variety of spaces.

研究の動機と目的

• バナッハ空間および局所凸空間を超えて、一般のベクトルラティスへ強連続半群の理論を拡張すること。
• 相対一様位相 τru における強連続性および半群の相対一様連続性を定義し、それらを研究すること。
• Lip(R)、UC(R)、Cc(R)、および 0 < p < 1 の Lp(R) のような非完備かつ非局所凸空間における半群の分析のための枠組みを確立すること。
• 比較的均等連続半群の拡張定理を証明するために、性質 (D) を導入・利用すること。
• C(R)、Lip(R)、UC(R) 上の比較的均等連続クープマン半群を、それらの背後にある半フローを用いて特徴付けること。

提案手法

• ネットを用いた相対一様収束列の系列を通じて、アーケィメデス的ベクトルラティスに相対一様位相 τru を導入する。
• ベクトルラティス上の正の作用素の半群における τru-強連続性および相対一様連続性を定義する。
• 相対一様連続性が τru-強連続性を含むが、逆は一般には成り立たないことを証明する。
• 相対一様連続半群の拡張定理を可能にするために、ベクトルラティスにおける一様有界性原理の一般化である性質 (D) を導入する。
• 拡張定理を用いて、C(R)、Lip(R)、UC(R) 上の相対一様連続クープマン半群をそれらの半フローを通じて特徴付ける。
• 理論を具体的な例に適用する：Lip(RN) および UC(RN) 上の熱半群、および Lp(R) 上の左平行移動半群。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 0 < p < 1 の Lp(R) や Cc(R) のような非バナッハかつ非局所凸ベクトルラティスへ、強連続半群の理論を拡張できるか。
• RQ2 正の作用素の半群がベクトルラティス上で比較的均等連続であるための条件は何か。
• RQ3 相対一様連続性と τru-強連続性の関係は何か。また、それらが異なる場合の条件は何か。
• RQ4 性質 (D) が、比較的均等連続半群を稠密部分集合から拡張可能にする役割は何か。
• RQ5 C(R)、Lip(R)、UC(R) 上の比較的均等連続クープマン半群は、その背後にある半フローを用いてどのように特徴付けられるか。

主な発見

• 任意の N ∈ ℕ に対して、熱半群は Lip(RN) および UC(RN) 上で比較的均等連続である。
• 0 < p < ∞ の Lp(R) 上の左平行移動半群は、τru-強連続であるが、比較的均等連続ではない。
• C(R)、Lip(R)、UC(R)、Cc(R) を含む重要なベクトルラティスにおいて、性質 (D) が成り立つ。これにより、比較的均等連続半群の拡張定理が可能になる。
• 性質 (D) を用いて、比較的均等連続半群の拡張定理が確立され、Hille-Yosida型の特徴付けに不可欠な役割を果たす。
• C(R)、Lip(R)、UC(R) 上の比較的均等連続クープマン半群は、ある u ∈ X およびすべての h ∈ [0,δ] に対して |ϕ(h,x)−x| ≤ ε·u(x) を満たす半フロー ϕ によって特徴付けられる。
• X = Lip(R) または UC(R) の場合、クープマン半群の相対一様連続性は、すべての h ∈ [0,δ] および x ∈ R に対して |ϕ(h,x)−x| ≤ ε·(1+|x|) を満たす δ > 0 の存在と同値である。