[論文レビュー] Relativistic Aberration and the Cosmological Constant in Gravitational Lensing I: Introduction

Dmitri Lebedev, Kayll Lake|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2016

Relativity and Gravitational Theory参考文献 6被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、シュワルツシルト＝デ・シータ・スパタイムにおける光線の間の観測可能な角度を測定する一般相対論的枠組みを確立し、宇宙定数 Λ が光線の軌道に直接的な影響を及ぼさないにもかかわらず、相対論的歪みと観測者の運動を通じて、測定可能な交差角および重力レンズ効果の観測量に明示的に寄与することを示している。主な貢献は、Λ、観測者の運動、歪みを統合した一様な解析的公式であり、その結果、Λ が観測量に明示的に現れるレンズ方程式が得られる。

ABSTRACT

An analysis of null geodesics in Schwarzschild de Sitter space is presented with special attention to their global `bending angles', local measurable angles, and the involvement of the cosmological constant. We make use of a general technique which allows for finding observable intersection angles of null trajectories analytically. A general relativistic aberration relationship is established as one of its applications. The question of whether or not the cosmological constant, $Λ$, contributes to orbits of light and to related observable quantities is addressed in detail. We also discuss the ongoing debate on this issue and respond to some recent papers on the topic. The dependence of measurable quantities on the motion of observers is stressed throughout. Exact formulas for measurable intersection angles, as well as gravitational lens equations for observers in the Schwarzschild de Sitter background are provided.

研究の動機と目的

• 光線の軌道に影響を与えないにもかかわらず、宇宙定数 Λ が重力レンズ効果の観測量に寄与するかどうかという長年の議論を解決すること。
• シュワルツシルト＝デ・シータ・スパタイムにおける光線の間の測定可能な交差角を計算する一般的な解析的手法を開発すること。
• 特に Λ の存在下で、観測者の運動と相対論的歪みがレンズ測定に与える役割を明確にすること。
• Λ が観測量に明示的に現れる単一源の重力レンズ方程式を SdS 背景で導出すること。
• Λ ≠ 0 の場合における「衝突径数」と「屈曲角」の定義に生じる曖昧さを解消し、特定の観測者タイプの測定可能な角度の正確な式を提供すること。

提案手法

• Kottler座標系における4ベクトル形式を用いて、2本の光線の間の測定可能な交差角を表す一般式（式16）を導出する。
• 一般角公式を応用し、SdS スパタイムにおける静止観測者および共動観測者の測定可能な角度の正確な式を計算する。
• 相対論的歪みを角公式の内在的特徴として統合し、任意の時空幾何における不変な歪み方程式を導出する。
• Kottler計量を用いて光線の軌道とΛとの依存関係を分析し、軌道にはΛの影響がないものの、測定可能な角度には影響があることを示す。
• 測定可能な角度と赤方偏移距離を組み合わせることで、Λ が明示的に現れる単一源の重力レンズ方程式（式35）を導出する。
• 座標に基づく近似と測地線ずれを用いた別手法による導出（付録B）を通じて、レンズ方程式の妥当性を検証し、1次近似で距離を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 宇宙定数 Λ は、光線の軌道に影響を与えないにもかかわらず、重力レンズ効果の観測量に寄与するか？
• RQ2 Λ の存在下で、相対論的歪みは光線間の角度測定にどのように影響を及けるか？
• RQ3 Λ ≠ 0 の場合における「屈曲角」と「衝突径数」の正しい定義と挙動は何か？
• RQ4 観測者の運動とフレーム選択は、レンズ角度の測定とそれによるレンズ方程式にどのように影響を及えるか？
• RQ5 Λ が観測量に明示的に現れる一様な解析的レンズ方程式を SdS スパタイムで導出可能か？

主な発見

• 宇宙定数 Λ は、光線の軌道に影響を与えないにもかかわらず、SdS スパタイムにおける光線間の測定可能な交差角に明示的に影響を与える。
• 一般角公式（式16）は、相対論的歪みと測定可能な角度の統合的取り扱いを可能にし、平坦時空では標準的な歪み公式に帰着する。
• 静止観測者の場合、測定可能な角度 ψ_static は tan(ψ_static) = √(f(r)/r²) / √(f(r₀)/r₀² − f(r)/r²) で与えられ、f(r) は Λ に依存する。
• 大径の距離における共動観測者の場合、測定可能な角度 ψ_comoving は計量と観測者の速度に依存し、Λ は f(r₀) と fₘ₌₀(r) を通じて現れる。
• 単一源の重力レンズ方程式（式35）は、観測者の速度と計量成分を通じて Λ を明示的に含み、Λ が観測量に与える影響を確認する。
• 赤方偏移距離（式45）と測定可能な角度（式44）を用いたレンズ方程式の導出により、一貫性が確認され、Λ がレンズ観測量に果たす役割が検証される。