[論文レビュー] Relativistic Brownian Motion in 3+1 Dimensions

O. Oron, L. P. Horwitz|ArXiv.org|Nov 30, 2003

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、3+1次元時空における明示的共変な相対論的ブラウン運動を、空間的および時間的ゆらぎを別々に取り扱い、解析接続を用いることで定式化した。これにより、不変なダランベール作用素を有する共変なフォッカー・プランク方程式が得られ、固有時間τにおけるマルコフ性を保ちながら座標時間tにおける非局所性を許容する枠組みが提供される。これは相対論的量子方程式や重力・もつれとの関連に向けた可能性を秘めている。

ABSTRACT

We solve the problem of formulating Brownian motion in a relativistically covariant framework in 3+1 dimensions. We obtain covariant Fokker-Planck equations with (for the isotropic case) a differential operator of d'Alembert form. Treating the spacelike and timelike fluctuations separately in order to maintain the covariance property, we show that it is essential to take into account the analytic continuation of "unphysical" fluctuations. We discuss the notion of locality in this framework and possible implications for entangled states.

研究の動機と目的

• 3+1時空次元におけるブラウン運動の明示的ローレンツ共変な定式化を開発すること。
• 固有時間パラメータ化における不整合を解消するため、空間的および時間的ゆらぎを分離すること。
• 不変な固有時間τにおけるマルコフ性を維持しつつ、座標時間tにおける非局所的挙動を許容すること。
• ネルソンの確率力学を特殊相対性理論に整合する相対論的枠組みへ一般化すること。
• 相対論的拡散、量子場の運動方程式（クライン＝ゴルドン方程式）、時空幾何学との関係を探索すること。

提案手法

• ローレンツ共変性を保証するため、動的進化変数として不変パラメータτ（固有時間）を用いる。
• 空間的および時間的ゆらぎを別々に取り扱い、物理的でない空間的成分を処理するために解析接続を用いる。
• 等方的状況における共変フォッカー・プランク方程式を構築し、ダランベール作用素を導入する。
• シュティーベルク形式を採用し、時間的（前向き／後向き）および空間的（粒子対生成／消滅）運動を解釈する。
• 座標時間tにおける非マルコフ性を生じさせる、τにおけるマコフ過程を定式化する（同じ時間間隔に対し複数の空間的経路が存在するため）。
• 座標時間tがτに対して単調増加である場合に限った条件付き確率を用いて、1粒子確率を定義し、正規化の問題を回避する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3+1次元において、どのようにブラウン運動を相対論的に共変に一貫して定式化できるか？
• RQ2 固有時間τが、時空相関関数における矛盾を避ける中でマルコフ性をどのように維持するか？
• RQ3 解析接続を用いて解釈される空間的ゆらぎは、どのように共変な拡散過程に寄与するか？
• RQ4 ネルソンの確率力学の相対論的一般化は、クライン＝ゴルドン方程式を導けるか？
• RQ5 座標時間tにおける非局所性が、もつれ系および巨視的因果律に与える影響は何か？

主な発見

• 導出された共変フォッカー・プランク方程式はローレンツ変換に対して不変であり、等方的状況ではダランベール作用素を有する。
• 固有時間τを進化パラメータとして用いることで、時空間隔と固有時間の間の2次相関における矛盾が解消される。
• 標準的解釈では物理的でない空間的ゆらぎは、共変性を保つために解析接続を用いて不可欠に扱われる。
• 得られる巨視的力学は、時空において局所的かつ因果的であるが、その微視的プロセスは座標時間tにおいて非局所的である。
• このプロセスは、ネルソンの確率力学の相対論的一般化をもたらし、クライン＝ゴルドン方程式を量子アナログとして得る。
• この枠組みは、重力の幾何的起源を示唆しており、時空の曲がりが拡散過程内の非自明な相関から生じる可能性がある。