[論文レビュー] Relativistic-covariant Bohmian mechanics with proper foliation

Hrvoje Nikolić|arXiv (Cornell University)|May 18, 2012

Quantum Mechanics and Applications参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、多粒子波動関数から直接粒子固有の葉状構造を定義する4ベクトル $f_{\mu_a}(x_a)$ を導出することにより、相対論的・共変なボーム力学の形式化を提案する。外部の任意な構造を必要とせず、固有の葉状構造を波動関数によって定義することで、ボーム力学の非局所性と相対性理論の両立という長年の課題を解決する。この方法により、固有の超曲面上での等価確率密度が保証され、波動関数によって定義される優先的な葉状構造を通じて、非局所性と相対性理論の矛盾を解消する。

ABSTRACT

In classical relativistic mechanics, a "preferred" proper direction in spacetime for each particle is determined by the direction of its 4-momentum. Analogously, for each quantum particle we find a local direction uniquely determined by the many-particle wave function, which for each particle defines the proper foliation of spacetime. This can be used to formulate a relativistic-covariant version of Bohmian mechanics, with equivariant probability density on proper hypersurfaces.

研究の動機と目的

• ボーム力学の明示的な非局所性と相対論的共変性を両立させるという長年の課題を解決すること。
• 外部から強制的に導入される4ベクトル $N^\mu$ の必要性を排除し、多粒子波動関数から直接優先的な葉状構造を導出すること。
• 粒子の軌道に沿った変換においても等価性を保つ、固有の超曲面上での一貫性のある相対論的共変確率測度を確立すること。
• スピンを持つ粒子へと形式を一般化し、ローレンツ変換下でも変換性が保たれることを保証すること。

提案手法

• 波動関数の位相勾配から粒子固有の4ベクトル $f_{\mu_a}(x_a)$ を導出し、古典的4運動量概念を量子系へと一般化する。
• 保存量である $n$ ベクトル $j_{\mu_1\ldots\mu_n} = \psi^* \Gamma_{\mu_1} \cdots \Gamma_{\mu_n} \psi$ を用いて粒子の流れと確率密度を定義する。
• 各粒子の固有の葉状構造をベクトル場 $f_{\mu_a}(x_a)$ によって定義し、これは粒子の静止系における超曲面の法線ベクトルとして機能する。
• ガウスの定理を適用することで、任意の超曲面集合における正規化積分が保存されることを示し、確率の等価性を保証する。
• スピン1/2およびそれ以上のスピンを持つ粒子へと形式を一般化する際、スピンループ電流 $j_{\mu_1\ldots\mu_n} = \psi^\dagger \Gamma_{\mu_1} \cdots \Gamma_{\mu_n} \psi$ を用い、適切なテンソル変換性を保証する。
• スピンループの変換則を再解釈することで、$j_{\mu_1\ldots\mu_n}$ が共変 $n$ ベクトルとして変換されることを保証し、相対論的共変性を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の優先的な葉状構造を導入せずに、相対論的共変なボーム力学をどのように形式化できるか。
• RQ2 相対論的文脈において、粒子の固有時空の葉状構造を定義する自然で波動関数に由来する量は何か。
• RQ3 ボーム力学における確率密度を、波動関数のみによって定義される固有の超曲面上で等価に保てるか。
• RQ4 スピンを有する粒子、特にスピン1/2の粒子へと形式を一貫して拡張するにはどうすればよいか。また、相対論的共変性を保つにはどうすればよいか。
• RQ5 スピンループがスカラーとして変換するように再定義した場合、座標変換下での電流 $j_{\mu_1\ldots\mu_n}$ の変換性はいかなるものか。

主な発見

• 本稿では、波動関数に依存する一意の4ベクトル $f_{\mu_a}(x_a)$ が導出され、各粒子の固有の葉状構造を定義し、外部の $N^\mu$ の必要性を排除する。
• 固有の超曲面 $f_{\mu_a}$ によって定義される確率密度 $\tilde{p} = \tilde{N}^{\mu_1} \cdots \tilde{N}^{\mu_n} j_{\mu_1\ldots\mu_n}$ が等価性を示し、量子力学的確率と整合的であることが示された。
• 正規化積分 $\int_{\Sigma_1} d^3x_1 \cdots \int_{\Sigma_n} d^3x_n \, \tilde{p}$ は、$j_{\mu_1\ldots\mu_n}$ の保存性とガウスの定理により、空間的でない超曲面に対しても保存される。
• スピン1/2粒子に対しては、時間成分が正定値であるため、電流 $j'_{\mu_1\ldots\mu_n} = \bar{\psi} \gamma_{\mu_1} \cdots \gamma_{\mu_n} \psi$ が好ましいが、$j_{\mu_1\ldots\mu_n} = \psi^\dagger \Gamma_{\mu_1} \cdots \Gamma_{\mu_n} \psi$ を用いた形式は、再定義されたスピンループ変換のもとでも共変性を保つことが示された。
• スピンループの変換則の再定義により、電流および確率密度が適切なテンソルとして変換され、相対論的共変性が保たれる。
• 本手法により、葉状構造、確率密度、粒子の軌道がすべて波動関数から一意に導出される一貫性があり、共変なボーム力学の形式化が達成された。