[論文レビュー] Relativistic forces in Lagangian mechanics

J. Dı́az|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2012

Advanced Differential Geometry Research参考文献 1被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、ラグランジュ力学における相対論的力の幾何学的定義を確立し、速度に線形な相対論的力が配置多様体上の水平2形式にのみ起因することを証明する。主な結果は、このような力が微分2形式と自然に関連しており、電磁力がこの枠組みにおける最も単純な相対論的相互作用を一般化していることである。

ABSTRACT

We give a general definition of \emph{relativistic force} in the context of Lagrangian mechanics. Once this is done we prove that the only relativistic forces which are linear on the velocities are those coming from differential 2-forms defined on the configuration space. In this sense, electromagnetic fields provide a mechanical system with the simplest type of relativistic forces.

研究の動機と目的

• ラグランジュ力学における相対論的力の明確で幾何学的な定義を、特定の計量に依存せずに提供すること。
• 相対論的力とテンソル場、特に配置空間上の微分形式との関係を明確にすること。
• 速度に線形な力が相対論的不変性を満たすための数学的構造を同定すること。
• 接続系が計量に依存せずに相対論的力を特徴づける理由を示すこと。
• この形式論において電磁力が、相対論的力の最も単純な例としてどのように現れるかを一般化すること。

提案手法

• ラグランジュ力学の位相空間として滑らかな多様体 $M$ の接バンドル $TM$ を用いる。
• Canonical projection $\pi: TM \to M$ を用いて、$TM$ 上の垂直および水平分布を定義する。
• 接続系 $\Omega$ を導入する。これは、すべての2階微分方程式を零にする水平1形式の集合である。
• 作業1形式 $\alpha$ が接触系 $\Omega$ に属する、すなわち $\dot{\alpha} = 0$ であることで、相対論的力を特徴づける。
• 計量 $T_2$ を用いて、2階方程式と水平1形式の間の一対一対応を確立する。
• 速度に線形な相対論的力は、$\alpha = i_{\dot{d}}\Phi_2$ で与えられ、ここで $\Phi_2$ は $TM$ 上の値を $\Lambda^2 M$ にとる水平2形式である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラグランジュ力学における相対論的力の内因的幾何学的定義は何か？
• RQ2 相対論的力は配置空間上のテンソル場、特に微分形式とどのように関係しているか？
• RQ3 速度に線形な力の中で、ラグランジュ枠組みにおいて相対論的不変性を満たすものはどれか？
• RQ4 なぜ $TM$ 上の接触系が計量に依存せずに相対論的力を特徴づけるために基本的なのか？
• RQ5 この形式論において電磁力が、相対論的力の最も単純な例としてどのように現れるか？

主な発見

• 速度に線形な相対論的力は、作業1形式 $\alpha$ が $TM$ の接触系 $\Omega$ に属する、すなわち $\dot{\alpha} = 0$ である場合に限り成立する。
• このような力は、$\alpha = i_{\dot{d}}\Phi_2$ で与えられ、ここで $\dot{d}$ はリウヴィルベクトル場、$\Phi_2$ は $TM$ 上の水平2形式である。
• 力場 $W$ は $W = \Phi(\dot{d})$ で与えられ、ここで $\Phi$ は $M$ 上の反対称自己準同型場であり、$T_2(\Phi(\dot{d}), \dot{d}) = 0$ を満たす。
• 力学系が相対論的であるための必要十分条件は、解の接ベクトルが計量 $T_2$ に関して一定長を持つこと、すなわち $T_2(u,u)$ が軌道に沿って一定であることである。
• 電磁力は、閉じた2形式 $\Phi_2 = F_{ij} dq^i \wedge dq^j$ に対応する、このような相対論的力の標準的な例である。
• $\alpha$ に対して $\Phi_2$ は一意ではないが、$\phi^i \alpha_i \wedge \beta_i$ の形の項を加えることで定まる（ここで $\alpha_i, \beta_i$ は接触形式である）。