[論文レビュー] Relativistic gravity fields and electromagnetic fields generated by flows of matter

Victor M. Bogdan|ArXiv.org|Oct 5, 2009

Relativity and Gravitational Theory参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、時間遅れの軌道から導かれる遅延ポテンシャルを用いて、連続的および離散的な物質の流れによって生成される相対論的重力場と電磁場の定式化を提示する。これはファインマンの電磁ポテンシャルに関するヒューリスティックな公式を厳密に補完し、得られる場がマクスウェル方程式とローレンツ不変性を満たすことを証明する。ポテンシャルは初期観測時刻に依存しない。

ABSTRACT

One of the highlight of this note is that the author presents the relativistic gravity field that Einstein was looking for. The field is a byproduct of the matter in motion. This field can include both the discrete and continuous components. In free space the waves produced in this field propagate with velocity of light. Another highlight is the proof of amended Feynman's formulas for electromagnetic potentials. This makes the formulas mathematically complete and precise. The main result can be stated as follows. In a fixed Lorentzian frame given is a trajectory $r_2(t,r_0)$ of flow of matter. The parameter $r_0$ changes in a compact set $F$ representing the position of the matter at some initial time $t_0.$ The flow must satisfy certain conditions of regularity. Given any signed measure $q(Q)$ of finite variation defined on Borel subsets of $F,$ representing total charge contained in the set $Q\subset F,$ such a flow determines the scalar $ϕ$ and the vector $A$ potentials for a pair $(E,B)$ of fields satisfying Maxwell's equations and as a byproduct the field $\varrho,$ representing density of charges, and the field $j,$ representing the density of currents. All these fields are represented in terms of generalized functions.

研究の動機と目的

• 移動する物質の流れから相対論的重力場を導出すること。連続的および離散的質量分布を含む。
• 一般化関数を用いて、ファインマンの電磁ポテンシャルに関するヒューリスティックな公式を数学的に正当化し、補完すること。
• 得られる電磁場および重力場がマクスウェル方程式およびローレンツ不変性を満たすことを証明すること。
• 電磁場および重力場が初期観測時刻に依存しないことを確立し、異なる慣性系間での物理的整合性を保証すること。
• 固定されたローレンツ座標系（c = 1, G = 1, 4πε₀ = 1）を用いて、遅延時間、速度、加速度、およびそれらの組み合わせを含む基本場を定義すること。

提案手法

• 物質の流れを、時間および初期位置から空間的位置への滑らかで全空間で一対一の写像として定義し、光速未満の速度を持つものとする。
• 遅延時間関数 T(r₁,t,r₀) をローレンツ時間遅れ方程式 T = |r₁ − r₂(t−T, r₀)| の解として導入し、それが一意的かつ連続的であることを証明する。
• 基本場を構成する：e = r₁₂ / T（単位ベクトル）、u = 1/T、z = 1/(1 − ⟨e,v⟩)、および r₁₂ = r₁ − r₂(τ, r₀)（τ = t − T）。
• 初期コンパクト集合 F 上での積分を用いてスカラーポテンシャル φ およびベクトルポテンシャル A を表現する：φ = ∫ [uz]ϱ dr₀、A = ∫ [uz v]ϱ dr₀、ここで uz = 1/(|r₁₂| − ⟨r₁₂,v⟩)。
• 質量密度 m₀(dr₀) から導かれる一般化されたポテンシャルを用いて、重力場強度 E および磁気的類似場 B を定義し、相対論的不変性を保証する。
• 時間写像 P を用いた時間平行移動による積分表現の不変性を示すことにより、電磁場および重力場が初期時刻 t₀ に依存しないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続的および離散的分布を含む物質の運動から、相対論的重力場を厳密に導出可能か？
• RQ2 ファインマンの電磁ポテンシャルに関するヒューリスティックな公式を、数学的厳密性とマクスウェル方程式との整合性を保つようにどのように補完できるか？
• RQ3 電荷分布の観測を開始する初期時刻に依存しない、運動する物質の流れによって生成される電磁場は存在するか？
• RQ4 導出された重力および電磁場がローレンツ不変性を満たし、反対称テンソルの成分として変換するか？
• RQ5 遅延時間関数 T が、移動源からの場の伝播における因果性および一意性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 時間遅れ T(r₁,t,r₀) は、すべての r₁ ∈ ℝ³、t ∈ ℝ、および r₀ ∈ F に対して一意的かつ連続的に定義され、遅延ポテンシャルの適切な定式化を保証する。
• 電磁ポテンシャルは φ(r₁,t) = ∫_F [1/(|r₁₂| − ⟨r₁₂,v⟩)] ϱ(r₀) dr₀ および A(r₁,t) = ∫_F [v/(|r₁₂| − ⟨r₁₂,v⟩)] ϱ(r₀) dr₀ で与えられ、ファインマンの公式が数学的厳密性をもって補完される。
• 重力場強度 E および関連する場 B は、初期質量分布上の一般化積分を用いて定義され、E = ∫ [∇φ + ∂φ/∂t] m₀(dr₀) および B = −∫ [e × (∇×A)] m₀(dr₀) である。
• 場 (E,B) はローレンツ変換の下で反対称テンソルとして変換され、特殊相対性理論と整合することが確認される。
• スカラーポテンシャルおよびベクトルポテンシャル、したがって得られる E および B 場は、初期観測時刻 t₀ の変更に対して不変である。これは定理8.1および推論8.2により証明された。
• この定式化は、c = 1、G = 1、4πε₀ = 1 と設定された固定されたローレンツ座標系で有効であり、相対論的単位および物理的スケーリングと整合性を保つ。