[論文レビュー] Relativistic probability waves

M. Grigorescu|ArXiv.org|May 21, 2008

Quantum Mechanics and Applications参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、エネルギーと時間を共役変数として含む拡張された位相空間への拡張により、ローレンツ共変な相対論的量子力学の枠組みを提案する。これにより、ローレンツ群と整合する正準構造が得られ、相対論的確率波は拡張されたリウヴィル方程式のコherent状態として導入され、運動量空間に局在化した分布から作用波が導かれる。また、時空の離散化が相対論的ウィグナー関数および相対論的シュレーディンガー方程式をもたらし、適切な極限において非相対論的量子力学が回復されることを示している。

ABSTRACT

A canonical structure compatible with the action of the Lorentz group can be obtained considering the energy and time as conjugate variables of an extended phase space. Scalar probability waves, describing free relativistic particles, are associated with functional coherent states for an extended Liouville equation. Relativistic action waves are provided by distributions localized in the momentum space, evolving according to the continuity and Hamilton-Jacobi equations. Presuming the existence of minimum space and time intervals, the action distributions take the form of relativistic Wigner functions. The nonrelativistic quantum dynamics is retrieved approximating the time distribution function by a Gaussian wave packet.

研究の動機と目的

• エネルギーと時間を共役変数として含む位相空間を拡張することで、古典的および量子力学のローレンツ共変な定式化を構築すること。
• ローレンツ群と整合する正準構造を確立し、一貫性のある相対論的統計力学の枠組みを提供すること。
• 運動量空間における拡張されたリウヴィル方程式のコherent解として、相対論的確率波を導出すること。
• 最小長距離間隔を仮定した時空の離散化が、相対論的ウィグナー関数および相対論的シュレーディンガー方程式をもたらすことを示すこと。
• 時間分布をガウス波束として近似することで、非相対論的量子力学がどのように極限として回復されるかを示すこと。

提案手法

• 古典的位相空間に $p_0 = -E/c$ および $q_0 = ct$ を追加し、8次元の拡張位相空間 $M^e$ を構成する。
• 自由な相対論的粒子に対して、$H^e_0 = -c\sqrt{p_0^2 - \mathbf{p}^2}$ を定義し、Lie微分 $\mathcal{L}_{H^e}$ を用いてローレンツ不変な運動方程式を導出する。
• 拡張された位相空間上の分布関数に対する相対論的リウヴィル方程式を導出し、運動量局在化したコherent状態では連続の式とハミルトニアン＝ジャコビ方程式に還元されることを示す。
• 作用波は運動量空間に局在化した分布として定義され、普遍的時間 $u$ を発展パラメータとして、連続の式とハミルトニアン＝ジャコビ方程式に従って進化する。
• 最小長 $\ell$（プランクスケールとは独立）を仮定した離散化スキームを適用し、拡張されたヒルベルト空間における波動関数の離散的表現を導出する。
• 軌道に基づく構成を避けるために、拡張位相空間上に直接ウィグナー関数を定義し、準確率分布として扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エネルギーと時間を共役変数として含む位相空間の拡張により、ローレンツ群と整合する正準構造を古典力学にどのように構築できるか。
• RQ2 拡張位相空間枠組みにおける、相対論的一般化されたコherent状態および確率波とは何か。
• RQ3 運動量空間に局在化した作用波—分布—は、拡張リウヴィル力学に従ってどのように進化するか。
• RQ4 時空の離散化が、相対論的量子力学およびウィグナー関数の回復に果たす役割は何か。
• RQ5 非相対論的極限は、波束の進化およびシュレーディンガー方程式の観点から、どのように相対論的枠組みから回復されるか。

主な発見

• $q_0 = ct$ および $p_0 = -E/c$ を含む拡張位相空間は、ローレンツ変換と整合する正準構造を提供し、相対性理論と統計力学を統一的に記述可能である。
• 相対論的確率波は、拡張リウヴィル方程式のコherent解として出現し、普遍的時間 $u$ を発展パラメータとして用い、非相対論的極限では時間分布関数がガウス波束に近似される。
• 作用波は運動量空間に局在化した分布として記述され、連続の式とハミルトニアン＝ジャコビ方程式に従って進化し、パrameter $\rho$ を用いてローレンツブーストに対して不変であることが示された。
• 最小長 $\ell$ を仮定した時空の離散化により、軌道に基づく定義を避ける、拡張位相空間上に直接定義された相対論的ウィグナー関数が得られる。
• 拡張されたヒルベルト空間における波動関数は、相対論的シュレーディンガー方程式に従って進化し、定常状態ではクライン＝ゴルドン方程式に還元される。
• 時間分布がガウス関数として近似されるとき、非定常シュレーディンガー型の進化が得られ、標準的量子力学と整合する非相対論的極限が回復される。