[論文レビュー] Relativistic quantum mechanics of the Majorana particle: quaternions, paired plane waves, and orthogonal representations of the Poincar\'e group

H. Arodź, Z. Świerczyński|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2019

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 10被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、波動関数の実数性を保つことができない標準の $-i\nabla$ とは異なり、相対論的マヨラナ粒子の基本的運動量観測可能性として、軸対称運動量演算子 $\hat{p}_5 = -i\gamma^5\nabla$ を提案する。$\hat{p}_5$ の固有関数を用いることで、マヨラナ方程式の一般解が、互いに逆の運動量 $\mathbf{p}$ と $-\mathbf{p}$ を持つ非対称な平面波のペアから成り立つことが示され、このモデルは、反粒子の不在に一致するスピン-1/2 に対応する、非可約かつ実数の直交的 Poincar\'e 群表現を実現する。

ABSTRACT

The standard momentum operator $-i abla$ can not be accepted as observable in relativistic quantum mechanics of the Majorana particle. Instead, one can use axial momentum operator recently proposed in Phys. Lett. A {\bf383}, 1242 (2019). In the present paper we report several new results related to the axial momentum which elucidate its usability. First, a new motivation for the axial momentum is given, and the Heisenberg uncertainty relation checked. Next, we show that the general solution of time evolution equation in the axial momentum basis has a connection with quaternions. Single traveling plane waves are not possible in the massive case, but there exist solutions which consist of asymmetric pair of plane waves traveling in opposite directions. Finally, pertinent real orthogonal and irreducible representation of the Poincar\'e group -- consistent with the lack of antiparticle -- is unveiled.

研究の動機と目的

• マヨラナ相対論的量子力学における運動量観測可能性の問題を解決すること。具体的には、標準の $-i\nabla$ 演算子が実数のバイスピンル波動関数を虚数に写像し、実ヒルベルト空間構造を破壊することを理由とする。
• 時間発展演算子と空間並進の生成子として、軸対称運動量演算子 $\hat{p}_5$ を用いた一貫性のある時間発展演工委学を確立すること。
• 直接和としての二つのスピン-1/2 表現が見られるディラック理論とは異なり、質量のあるマヨラナ粒子に対して、実数的で非可約かつ直交的な Poincar\'e 群表現を構築すること。
• クaternionとペア化された進行波としての解の物理的解釈を探索し、ディラック理論に見られない新たな特徴を明らかにすること。

提案手法

• 実数のバイスピンル波動関数の実数性を保つヒルベルト空間構造を満たす、エルミート的で観測可能な演算子である軸対称運動量演算子 $\hat{p}_5 = -i\gamma^5\nabla$ を導入し、その動機を提示する。
• $\hat{p}_5$ の固有関数を用いて、時間に依存するマヨラナ波動関数を展開し、時間発展する SO(4) 行列の重ね合わせとして表される解に至る。
• 一般解を、$\hat{p}_5$ の固有値 $\mathbf{p}$ に対応する波数を持つ進行波の重ね合わせに再定式化し、運動量が互いに逆であるペアモードが顕在化することを明らかにする。
• 時間発展演算子の振幅とクaternionの間の関係を確立し、変換行列がクaternion乗法に対応することを示す。
• 軸対称運動量基底における振幅に作用する Poincar\'e 群の実数的で非可約かつ直交的な表現を構成することで、モデルの相対論的不変性を導出する。
• マヨラナ粒子のウィグナー回転行列が、SU(2) のスピン-1/2 表現の実数的形と等価であることを示し、この枠組みにおける粒子のスピン-1/2 性質を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ標準の運動量演算子 $-i\nabla$ はマヨラナ粒子に対して有効な観測可能性ではないのか。代わりに何を用いるべきか？
• RQ2 軸対称運動量基底におけるマヨラナ波動関数の時間発展演算子はどのように振る舞い、SO(4) 行列はこの発展演算子において果たす役割は何か？
• RQ3 マヨラナ方程式の一般解は進行波の重ね合わせとして表現可能か。その場合、運動量と振幅にどのような制約が課されるか？
• RQ4 軸対称運動量基底において Poincar\'e 群不変性はどのように実現され、その結果得られる群表現の性質は何か？
• RQ5 解の構造とクaternionとの関係は何か。これはローレンツ群のスピン-1/2 表現とどのように関係するか？

主な発見

• 軸対称運動量演算子 $\hat{p}_5 = -i\gamma^5\nabla$ は、標準の $-i\nabla$ とは異なり、電荷共役と可換であり、ヒルベルト空間の実数性を保つヒルベルト的で有効な観測可能性である。また、ハイゼンベルクの不確定性関係も満たす。
• 軸対称運動量基底におけるマヨラナ方程式の一般解は、波数 $\mathbf{p}$ と $-\mathbf{p}$ を持つ進行波の重ね合わせとして表現可能であり、振幅比が $1 : m/E_q$ である非対称なペアを形成する。
• 質量のある場合（$m > 0$）では、軸対称運動量はハミルトニアンと可換でないため、$\hat{p}_5$ の固有状態は定常状態ではない。最小不変部分空間は、$\pm\mathbf{p}$ を持つモードのペアによって張られる。
• 波動関数の時間発展演算子には時間に依存する SO(4) 行列が関与するが、これらは再びペア化された進行波の重ね合わせとして再表現可能であり、物理的解釈が簡素化される。
• このモデルは、直接和の構造を持たず、実数的で非可約かつ直交的な Poincar\'e 群表現を実現する。これは反粒子の不在と整合的であり、スピン-1/2 の実数的形としてのスピン-1/2 表現と等価である。
• 軸対称運動量基底における振幅の変換行列はクaternion乗法と同型であり、行列 $\hat{T}(u)$ は $\alpha' I_4 + \beta' \hat{i} + \beta'' \hat{j} + \alpha'' \hat{k}$ として表現可能である。これにより、解空間のクaternion的構造が確認される。