[論文レビュー] Relativistic spin operator and Dirac equation

Paweł Caban, Jakub Rembieliński+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2012

Quantum Mechanics and Applications参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ポincare群のユニタリ表現理論とスピン1/2粒子のディラック方程式の直接的な関係を確立し、フォールディ・ウートヘイゼン平均スピン演算子がこの枠組みから自然に導かれることが示された。ディラック方程式が双スピン表現における明示的ローレンツ共変性から生じることを示し、フェルミオンの標準的量子場理論スピン演算子が正確にフォールディ・ウートヘイゼン平均スピン演算子に一致することを確認した。

ABSTRACT

We give a direct link between description of Dirac particles in the abstract framework of unitary representation of the Poincaré group and description with the help of the Dirac equation. In this context we discuss in detail the spin operator for a relativistic Dirac particle. We show also that the spin operator used in quantum field theory for spin $s=1/2$ corresponds to the Foldy-Woutheysen mean-spin operator.

研究の動機と目的

• 質量のあるスピン1/2粒子のディラック方程式と、ポincare群の抽象的ユニタリ表現との間の厳密な関係を確立すること。
• 量子場理論および量子情報の文脈における相対論的スピン観測量の性質を明確化すること。
• フォールディ・ウートヘイゼン平均スピン演算子がディラック粒子に対して物理的に整合性を持つスピン演算子であることを示すこと。
• ディラック方程式が双スピン表現における明示的ローレンツ共変性の結果であることを示すこと。

提案手法

• ポincare群の正エネルギーおよび負エネルギーのユニタリ表現の直和としての抽象ヒルベルト空間にディラック形式を定式化する。
• ローレンツ群の双スピン表現に従って変換する共変基底を導入し、これが自然にディラック方程式を満たす。
• ユニタリ表現の標準的ウィグナー構成を用いてスピン基底を定義し、ローレンツブーストに対して適切に変換されることを保証する。
• フォールディ・ウートヘイゼン変換を用いて共変基底とスピン基底を関連づけ、これによりディラックハミルトニアンを対角化する。
• スピン演算子がローレンツ変換の下でどのように変化するかを導出し、それがウィグナー回転を介して変換されることを示す。
• ディラック行列の恒等式を用いてスピン演算子の行列要素を明示的に計算し、それがフォールディ・ウートヘイゼン平均スピン演算子と等価であることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 明示的ローレンツ共変性およびユニタリ表現理論の原則から、どのようにしてディラック方程式を導出できるか。
• RQ2 フォールディ・ウートヘイゼン平均スピン演算子と、スピン1/2粒子の標準的量子場理論スピン観測量との間の正確な関係は何か。
• RQ3 スピン演算子はローレンツ変換の下でどのように変化するか。また、それは3次元ベクトルとしての性質を持つだろうか。
• RQ4 なぜディラック形式における運動量基底ベクトルの標準的選択がローレンツ共変性と整合しないのか。正しい代替案は何か。
• RQ5 相対論的量子情報の文脈において、フォールディ・ウートヘイゼン変換によって定義されるスピン演算子の物理的意味は何か。

主な発見

• ディラック方程式は、双スピン表現における明示的ローレンツ共変性を要求することによって自然に導かれる。共変基底ベクトルは、構成上、方程式を満たす。
• フォールディ・ウートヘイゼン平均スピン演算子が、スピン1/2粒子の標準的量子場理論スピン演算子と厳密に等価であることが示された。
• スピン演算子はローレンツ変換の下でウィグナー回転に従って変換され、空間回転の下での3次元ベクトルとしての正しい変換性が確認された。
• 運動量基底ベクトルを $|\mathsf{\epsilon}p,\sigma\rangle$ と選ぶことで、ローレンツ共変性と整合性が保たれるが、直感的な選択 $p^{\pi}$ では変換則が保たれない。
• 行列要素 $\overline{v}^{\mathsf{\epsilon}}(p)\gamma^{\mu}v^{\mathsf{\epsilon}}(p) = \frac{p^{\mu}}{m}I_2$ は、正しい正規化および電流保存を確認する。
• スピン演算子の行列要素は $\overline{v}^{\mathsf{\epsilon}}(p)\gamma^5 v^{\mathsf{\epsilon}}(p) = 0$ を満たし、スカラー成分の不在と平均スピン定義との整合性が確認された。