[論文レビュー] Relativistic SU(4) and Quaternions

Rolf Dahm|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 1996

Particle physics theoretical and experimental studies被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、SU(4)対称性とクaternionを用いた相対論的ハドロン理論を提案し、SU(4)表現を介してスピン・アイソスピン構造を統一し、Lie代数の同型を通じてde Sitter代数so(5,1)と関連付ける。クォータニオン的ディラック型スピンォルを構築し、単位的代数を用いた幾何的枠組みを確立し、so(4,1)の縮約によってポアンカレ代数が導かれる。

ABSTRACT

A classification of hadrons and their interactions at low energies according to SU(4) allows to identify combinations of the fifteen mesons $π$, $ω$ and $ρ$ within the spin-isospin decomposition of the regular representation hdmulti{15}. Chirally symmetric SU(2)$ imes$SU(2) hadron interactions are then associated with transformations of a subgroup of SU(4). Nucleon and Delta resonance states are represented by a symmetric third rank tensor hdmulti{20} whose spin-isospin decomposition leads to $4\oplus 16$ `tower states' also known from the large-N$_c$ limit of QCD. Towards a relativistic hadron theory, we consider possible generalizations of the stereographic projection {\bf S}$^{2}$ $ o$ {\bf C} and the related complex spinorial calculus {\it on the basis of the division algebras with unit element}. Such a geometrical framework leads directly to transformations in a quaternionic projective `plane' and the related symmetry group SL(2,{\bf H}). In exploiting the Lie algebra isomorphism sl(2,{\bf H}) $\cong$ su$*$(4) $\cong$ so(5,1), we focus on the Lie algebra su$*$(4) to construct quaternionic Dirac-like spinors, the associated Clifford algebra and the relation to SU(4) by Weyl's unitary trick. The algebra so(5,1) contains the de Sitter-algebra so(4,1) which can be contracted to the algebra of the Poincaré group.

研究の動機と目的

• 低エネルギーのハドロン効果的理論におけるSU(4)対称性を、相対論的枠組みへ拡張すること。
• メソンとバリオン（例：陽子、Δ共鳴状態）のスピン・アイソスピン構造をSU(4)表現内で統一すること。
• 単位的代数とステレオグラフィック射影を用いた幾何的基盤を構築し、相対論的ハドロン理論を確立すること。
• de Sitter代数so(5,1)とポアンカレ代数との間の関係を、縮約によって導出すること。
• クォータニオン的ディラック型スピンォルを構築し、ワイエルのユニタリトリックとクリフォード代数を介してSU(4)と関連付けること。

提案手法

• SU(4)の15次元正則表現を用いてメソンを分類し、スピン・アイソスピン状態に分解する。
• 陽子およびΔ共鳴状態をSU(4)の20次元表現における対称的3階テンソルとして表現し、4 ⊕ 16の「タワー状態」を導出する。
• S²からℂへのステレオグラフィック射影を一般化し、クォータニオンへと拡張することでクォータニオン的射影平面を導出する。
• Lie代数の同型sl(2,ℍ) ≅ su*(4) ≅ so(5,1)を用いてクォータニオン的スピンォルと関連するクリフォード代数を定義する。
• ワイエルのユニタリトリックを用いて非コンパクト群SU*(4)とコンパクト群SU(4)を関連付け、ユニタリ表現を可能にする。
• de Sitter代数so(4,1)の縮約としてポアンカレ代数を導出し、so(5,1)に埋め込む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クォータニオンを用いたSU(4)対称性を、ハドロンの相対論的枠組みへどのように拡張できるか？
• RQ2 Lie代数の同型sl(2,ℍ) ≅ su*(4) ≅ so(5,1)は、相対論的スピンォルを構築する上で果たす役割は何か？
• RQ3 20次元SU(4)表現とそのスピン・アイソスピン分解は、QCDのlarge-Nc極限とどのように関係するか？
• RQ4 単位的代数とステレオグラフィック射影に基づく幾何的枠組みは、一貫性のある相対論的ハドロン理論を導くことができるか？
• RQ5 この形式的枠組み内において、de Sitter代数so(5,1)はどのようにポアンカレ代数に縮約されるか？

主な発見

• 15次元SU(4)表現は、スピン・アイソスピン状態として低エネルギーのメソン（π, ρ, ω）をうまく分類する。
• 20次元SU(4)表現における対称的3階テンソルは4 ⊕ 16の分解を生じ、QCDのlarge-Nc極限で観測される「タワー状態」と一致する。
• de Sitter代数so(5,1)は、so(4,1)を含み、これによりポアンカレ代数への縮約が可能であり、相対論的運動論的基盤を提供する。
• 同型sl(2,ℍ) ≅ su*(4)を介してクォータニオン的ディラック型スピンォルが構築され、相対論的スピンォル形式が可能になる。
• クォータニオン上のクリフォード代数が導出され、ワイエルのユニタリトリックを介してSU(4)と関連付けられ、ユニタリの一貫性が保証される。
• 単位的代数とステレオグラフィック射影に基づく幾何的枠組みは、複素スピンォル計算をクォータニオンへ一般化し、関連対称性群としてSL(2,ℍ)を導く。