[論文レビュー] Relaxation and 3d-2d passage theorems in hyperelasticity

Omar Anza Hafsa, Jean-Philippe Mandallena|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2011

Elasticity and Material Modeling参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、$γ(\pi)$-収束と擬凸化を用いて、非透過性および体積圧縮に対する無限大エネルギーを課す行列式型制約下で、超弾性における緩和および3次元-2次元次元削減定理を確立する。Dacorognaの緩和定理およびLe Dret-Raoulの3次元-2次元通過定理を、非透過性と体積圧縮における無限大エネルギーを伴う超弾性設定へと拡張し、擬凸化が「豊富な」エネルギー密度において多項式成長を保存することを証明する。

ABSTRACT

We give an overview of relaxation and 3d-2d passage theorems in hyperelasticity in the framework of the multidimensional calculus of variations. Some open questions are addressed. This paper, which is an expanded version of the outline-paper [AHM09b], comes as a companion to [AHM09a].

研究の動機と目的

• 非透過性および体積圧縮における無限大エネルギーを課す行列式型制約を組み込んだ超弾性へのDacorognaの緩和定理の拡張。
• 非透過性および無限大圧縮エネルギーと整合する物理的原則に適合する超弾性設定へのLe Dret-Raoulの3次元-2次元通過定理の一般化。
• 「豊富なエネルギー密度」——その擬凸化が多項式成長を示すもの——の導入と分析。これにより、古典的定理の拡張が可能になる。
• 特に強い行列式制約下における緩和および次元削減の未解決問題の解消。
• 超弾性制約下における薄い構造物の3次元-2次元通過に対して、$γ(\pi)$-収束を用いた厳密な枠組みの構築。

提案手法

• 厚さ$\varepsilon \to 0$における3次元エネルギー関数の$γ$-極限を$γ(\pi)$-収束を用いて分析し、2次元有効エネルギーへの収束を保証する。
• 擬凸化による擬凸包$\mathcal{Q}W$を用いて非凸エネルギー密度を緩和し、物理的制約を保持する。
• 擬凸化されたエネルギーが多項式成長を示す「豊富なエネルギー密度」——そのようなエネルギー密度の概念を導入し、古典的定理の拡張を可能にする。
• アフィンおよび非線形摂動を組み合わせた、パラメータ化されたテスト関数$H(\xi, t, a \otimes b)$を用いて、緩和されたエネルギーを特徴付ける。
• 補助関数$h$の強収縮性および連続性を用いて、緩和過程における下半連続性および最小化子の存在を証明する。
• さまざまな行列式制約下で、緩和関数$\overline{I}(\phi) = \int_\Omega \mathcal{Q}W(\nabla\phi(x))\,dx$の表現公式を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Dacorogdaの緩和定理は、$\det F \to 0^+$および$\det F \leq 0$のときエネルギー密度が発散する超弾性設定へ拡張可能か？
• RQ2 非透過性および無限大圧縮エネルギーと整合する強い行列式制約下でも、Le Dret-Raoulの3次元-2次元通過定理は成立するか？
• RQ3 非有限で行列式制約付きのエネルギー密度の擬凸包$\mathcal{Q}W$が多項式成長を保つような条件は存在するか？
• RQ4 エネルギー密度が超弾性制約を満たす場合、3次元エネルギー関数の$\Gamma(\pi)$-収束が2次元極限へと確立可能か？
• RQ5 「豊富なエネルギー密度」は、超弾性における緩和と次元削減定理の整合性を保証する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿では、$W$が有限でないか、特異性を持つ場合でも、豊富なエネルギー密度において、緩和関数$\overline{I}(\phi)$が$\int_\Omega \mathcal{Q}W(\nabla\phi(x))\,dx$に等しいことを証明する。
• 「弱い行列式制約」（$\det F \leq 0 \Rightarrow W(F) = +\infty$、$W(F) \to \infty$ as $\det F \to 0^+$）の下で、擬凸包$\mathcal{Q}W$が多項式成長を保つことが示された。
• 「強い行列式制約」下で、3次元エネルギー関数$I_\varepsilon$の$\Gamma(\pi)$-収束が2次元極限へと確立され、超弾性と整合することが確認された。
• パラメータ$t \in [0,1]$およびランク1方向に関する、$\xi \in \mathbb{M}^{3\times 2}$の下でのパラメータ化された下界による定義された補助関数$\mathcal{H}(\xi)$は、連続的かつ強収縮的であることが証明され、最小化子の存在が保証された。
• 擬凸包$\mathcal{Q}W$は、$\varphi \in W^{1,\infty}(Y)$（$Y = (0,1)^N$）を含む2スケールテスト関数構成を用いて表現された。
• $h$が連続的かつ強収縮的であるという条件下で、すべての$\xi \in \mathbb{M}^{3\times 2}$に対して$\mathcal{H}(\xi) = h(\xi)$が成り立つことが証明された。