[論文レビュー] Relaxation of Multitime Statistics in Quantum Systems

Neil Dowling, Pedro Figueroa–Romero+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2021

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、一般の孤立系における多時刻相関関数が、長時間にわたり熱平衡過程のものに等化することを示している。初期状態が非平衡であっても、有効次元を鍵とするパラメータとして用いることで、著者らは、指数関数的に大きな測定回数がなければ、多時刻観測量の多くが平衡状態のものと区別できないことを示している。これは、典型的な測定において非平衡的特徴が実質的に隠蔽されていることを意味する。

ABSTRACT

Equilibrium statistical mechanics provides powerful tools to understand physics at the macroscale. Yet, the question remains how this can be justified based on a microscopic quantum description. Here, we extend the ideas of pure state quantum statistical mechanics, which focus on single time statistics, to show the equilibration of isolated quantum processes. Namely, we show that most multitime observables for sufficiently large times cannot distinguish a nonequilibrium process from an equilibrium one, unless the system is probed for an extremely large number of times or the observable is particularly fine-grained. A corollary of our results is that the size of non-Markovianity and other multitime characteristics of a nonequilibrium process also equilibrate.

研究の動機と目的

• 孤立系におけるユニタリ量子力学的ダイナミクスから平衡統計力学がどのように生じるかを理解すること。
• 単一時刻の期待値を超えて、多時刻相関関数が非平衡過程と平衡過程を区別できるかどうかを調査すること。
• 多時刻観測量が等化する条件、特に非マルコフ性および操作的量子プロセスの文脈において、それらがどのように等化するかを特定すること。
• プロセスタンスフォーマルダムとインストルメントを用いて、操作的に関係する量子的特徴の等化を分析する一般的な枠組みを確立すること。
• 理論的には存在するが、実際の測定において非平衡の痕跡が検出不能になる条件を定量化すること。

提案手法

• 著者らは、多時刻相関関数をプロセスタンス上に作用する単一演算子の期待値として再定式化し、時系列に整列した観測量の分析を可能にした。
• 平衡プロセス Ω を、系のハミルトニアンに関するデコherence写像を用いて、元のユニタリプロセス Υ のデコherence版として定義した。
• 主な解析的道具は、状態の複雑さを定量化し、等化の速度を決定する有効次元 $ d_{\mathrm{eff}}[\sigma] = 1 / \mathrm{tr}[\$(\sigma)^2] $ である。
• さまざまなバストの次元を想定し、ランダム行列ハミルトニアンとランダム初期状態を用いた数値シミュレーションにより、非マルコフ性および多時刻観測量の等化を検証した。
• 多時刻インストルメント（例えば、測定の系列）を用いてプロセスをプローブし、さまざまなインストルメントに対して、元のプロセス Υ と平衡プロセス Ω の差を計算した。
• 長時間および有限時間の両方の領域を含む解析を行い、系-環境ハミルトニアンおよび初期状態の複数のランダム実現を平均した。

Figure 1: (a) A general quantum process $\Upsilon$ composed of infinitesimal unitary evolution operators $\mathcal{U}_{\delta}$ and some initial state $\rho$ . (b) Multitime instrument $\textbf{A}_{\textbf{k}}$ , corresponding to any sequence of quantum operations (including measurements), is applie

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 孤立系における多時刻相関関数は、非平衡プロセスと平衡プロセスを区別できるか？
• RQ2 多時刻観測量が等化する条件は何か？また、有効次元はその等化にどのように影響するか？
• RQ3 非平衡的特徴（例：非マルコフ性）は、どの程度典型的な測定から実質的に隠蔽されるか？
• RQ4 多時刻プロセスにおいて非平衡的挙動を検出するために必要な測定回数は、どのようにスケーリングされるか？
• RQ5 多時刻統計の等化は、一般の多体量子系の一般的な特徴であるか？

主な発見

• 大多数の多時刻インストルメントに対して、非平衡ユニタリプロセス Υ における観測量の期待値は、平衡デコherenceプロセス Ω におけるものと区別できず、誤差は $ 1/d_{\mathrm{eff}} $ で抑えられる。
• ユニタリプロセス Υℓ と平衡プロセス Ω 間の非マルコフ性の平均絶対差は $ \sigma_{\rm av} = 1.8 \times 10^{-4} $ であったが、Υℓ では $ 1.0 \times 10^{-3} $ であった。これは強い等化を示している。
• 等化誤差は有効次元 $ d_{\mathrm{eff}} $ に反比例し、現実的な多体系では系サイズとともに指数関数的に増大する。
• 1キュービットをランダム行列環境に結合させた数値的シミュレーションでは、非マルコフ性が長時間にわたり等化するが、短時間プロセスは初期状態に敏感であることが示された。
• これらの結果は、多時刻プロセスにおける非平衡的特徴を検出するには指数関数的に大きな測定回数が必要であり、典型的な状況では実質的に観測不能であることを示唆している。
• この枠組みは、非マルコフ性などの操作的に関係する特徴の等化をうまく捉えており、こうした性質もまた平衡値に緩和されることを確認している。

Figure 2: Non-Markovianity of a 3-step process $\Upsilon$ and the corresponding $\Omega$ of a single qubit coupled to a random matrix environment, with a varying effective dimension $d_{\textrm{eff}}$ (details can be found in Appendix G ). One can see that the non-Markovianity of a general process $