[論文レビュー] Relaxation schemes for mathematical programs with switching constraints

Christian Kanzow, Patrick Mehlitz+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2018

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、数学的計画問題におけるスイッチング制約（MPSC）の緩和スキームを提案し、接ベクトル錐の分解を活用して解の精度と収束性を向上させる。点における接ベクトル錐が、活性スイッチング集合上の接ベクトル錐の和集合に等しいことを証明することで、組み合わせ的スイッチング条件下でのより強固な最適化が可能になる。

ABSTRACT

Switching-constrained optimization problems form a difficult class of mathematical programs since their feasible set is almost disconnected while standard constraint qualifications are likely to fail at several feasible points. That is why the application of standard methods from nonlinear programming does not seem to be promising in order to solve such problems. In this paper, we adapt the relaxation method from Kanzow and Schwartz (SIAM J. Optim., 23(2):770-798, 2013) for the numerical treatment of mathematical programs with complementarity constraints to the setting of switching-constrained optimization. It is shown that the proposed method computes M-stationary points under mild assumptions. Furthermore, we comment on other possible relaxation approaches which can be used to tackle mathematical programs with switching constraints. As it turns out, adapted versions of Scholtes' global relaxation scheme as well as the relaxation scheme of Steffensen and Ulbrich only find W-stationary points of switching-constrained optimization problems in general. Some computational experiments visualize the performance of the proposed relaxation method.

研究の動機と目的

• 数学的計画問題におけるスイッチング制約（MPSC）を解く課題に取り組むこと。これは非凸的で、組み合わせ的に複雑な実行可能集合を含む。
• 局所的な幾何的構造を活用することで、MPSCに対する数値的手法の収束性と安定性を高める緩和フレームワークを構築すること。
• 活性スイッチング集合を用いた、実行可能点における接ベクトル錐の厳密な特徴付けを確立すること。
• 活性スイッチング集合に基づく接ベクトル錐の分解を通じて、MPSCに対するより効果的なアルゴリズムの設計に理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 本手法は、点 $\tilde{x} \in X(t)$ における接ベクトル錐を、$I \subset I^{00}_t(\tilde{x})$ という部分集合の和集合に分解する。ここで $I^{00}_t(\tilde{x})$ は、活性スイッチング制約の集合を表す。
• 接ベクトル錐 $\mathcal{T}_{X(t)}(\tilde{x})$ が、すべての such 部分集合 $I$ についての接ベクトル錐 $\mathcal{T}_{X(t,\tilde{x},I)}(\tilde{x})$ の和集合に等しいことを証明する。
• 逐次近似に依存するアプローチである。任意の接ベクトル錐内方向 $d$ に対して、$\tilde{x}$ と 0 に収束するような列 $\{y_k\}$ と $\{\tau_k\}$ が構成され、$(y_k - \tilde{x}) / \tau_k \to d$ となる。
• ある $\bar{I} \subset I^{00}_t(\tilde{x})$ に対して、無限に多くの $y_k$ が $X(t, \tilde{x}, \bar{I})$ 内にあることを示すことにより、$d$ が対応する接ベクトル錐成分に属することを保証する。
• 制約関数の連続性と活性集合の構造を用いて、局所的接ベクトル錐の和集合への包含関係を確立する。
• 緩和スキームは、活性スイッチング制約による実行可能集合の幾何的分解に基づく。これにより、最適化におけるより正確な降下方向が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 数学的計画問題におけるスイッチング制約の接ベクトル錐は、どのように管理可能な成分に分解できるか？
• RQ2 グローバル接ベクトル錐と、活性スイッチング集合によって定義される局所的サブプロブレムの接ベクトル錐との関係は何か？
• RQ3 この接ベクトル錐分解を活用することで、収束を保証する緩和スキームを構築できるか？
• RQ4 全実行可能集合の接ベクトル錐内の方向が、活性スイッチング制約の部分集合によって定義されるサブプロブレムの接ベクトル錐に属する条件は何か？
• RQ5 制約関数の連続性は、MPSCにおける接ベクトル錐分解の妥当性をどのように支援するか？

主な発見

• 任意の点 $\tilde{x} \in X(t)$ における接ベクトル錐 $\mathcal{T}_{X(t)}(\tilde{x})$ は、すべての部分集合 $I \subset I^{00}_t(\tilde{x})$ についての接ベクトル錐 $\mathcal{T}_{X(t,\tilde{x},I)}(\tilde{x})$ の和集合に等しい。
• 接ベクトル錐内の任意の方向 $d$ に対して、無限に多くの列点 $y_k$ が $X(t, \tilde{x}, \bar{I})$ 内にあるような部分集合 $\bar{I} \subset I^{00}_t(\tilde{x})$ が存在する。これにより、$d$ が対応する局所的接ベクトル錐に属することが保証される。
• 証明は、$\{y_k\} \subset X(t)$ および $\{\tau_k\} \downarrow 0$ となるような列の存在に依存し、$(y_k - \tilde{x}) / \tau_k \to d$ が成り立つ。この条件は、局所的接ベクトル錐成分への包含関係を確立するのに十分である。
• 制約関数の連続性により、列の極限挙動が活性集合構造を保存するため、分解が成立することが保証される。
• 結果として、グローバルな接ベクトル方向が局所的サブプロブレムの錐によって捉えられることを示す理論的基盤が得られる。
• この分解により、活性スイッチング集合に焦点を当てることで、より正確で安定した最適化アルゴリズムが可能となり、実際の収束性の向上が図れる。