[論文レビュー] Relaxed Locally Correctable Codes with Improved Parameters

Vahid R. Asadi, Igor Shinkar|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ブロック長を改善した、新しい緩和局所的訂正可能符号（RLCC）の構成を提示する。O(q)-クエリRLCCがO(k^{1+1/q})のブロック長を達成しており、定数因子を除いて既知の下界と一致する。この手法は、リーマン＝ムラー符号上のランダムウォークを用いた一貫性テストと、近接性に関するPCPとの合成定理を活用しており、以前のO(k^{1+1/√q})の構成を著しく改善し、定数クエリ制約下でのクエリ複雑さと符号長のトレードオフの理解を前進させる。

ABSTRACT

Locally decodable codes (LDCs) are error-correcting codes $C : Σ^k o Σ^n$ that admit a local decoding algorithm that recovers each individual bit of the message by querying only a few bits from a noisy codeword. An important question in this line of research is to understand the optimal trade-off between the query complexity of LDCs and their block length. Despite importance of these objects, the best known constructions of constant query LDCs have super-polynomial length, and there is a significant gap between the best constructions and the known lower bounds in terms of the block length. For many applications it suffices to consider the weaker notion of relaxed LDCs (RLDCs), which allows the local decoding algorithm to abort if by querying a few bits it detects that the input is not a codeword. This relaxation turned out to allow decoding algorithms with constant query complexity for codes with almost linear length. Specifically, [BGH+06] constructed an $O(q)$-query RLDC that encodes a message of length $k$ using a codeword of block length $n = O(k^{1+1/\sqrt{q}})$. In this work we improve the parameters of [BGH+06] by constructing an $O(q)$-query RLDC that encodes a message of length $k$ using a codeword of block length $O(k^{1+1/{q}})$. This construction matches (up to a multiplicative constant factor) the lower bounds of [KT00, Woo07] for constant query LDCs, thus making progress toward understanding the gap between LDCs and RLDCs in the constant query regime. In fact, our construction extends to the stronger notion of relaxed locally correctable codes (RLCCs), introduced in [GRR18], where given a noisy codeword the correcting algorithm either recovers each individual bit of the codeword by only reading a small part of the input, or aborts if the input is detected to be corrupt.

研究の動機と目的

• 定数クエリの局所的訂正可能符号（LDC）について、既知の下界と最良の構成との間のギャップを埋めること。
• 先行研究のO(k^{1+1/√q})の境界を超えて、緩和局所的訂正可能符号（RLCC）のブロック長パラメータを改善すること。
• 新しい構成が、定数クエリLDCの既存の下界を定数因子の範囲で一致することを示し、LDCとRLCCの分離に関する理解を前進させること。
• 局所的訂正が汚染された入力で中止を許可するより強いRLCCモデルに、この構成を拡張すること。
• 高次元拡張子や類似構造を用いて、クエリ複雑さが小さい定数レートのRLCCを構築するフレームワークを提供すること。

提案手法

• リーマン＝ムラー符号上でのランダムウォークによる一貫性テスト（CTRw）を用いて、符号語部の局所的一致性を検証する。
• CTRwに基づくRLCCと近接性に関するPCPを合成する定理を用いて、効率的な局所的訂正を可能にする。
• 局所的訂正アルゴリズムは、符号語の少数の位置をクエリし、CTRwを用いて一貫性を検出するか、汚染が検出された場合は中止する。
• この手法は、緩和符号化モデルにおける妥当性と完全性を保証する、標準的なPCPの近接性システムに依存する。
• 必要な代数的構造をサポートするため、十分に大きな体のサイズ（|F| ≥ c_q · k^{1/q}）を仮定する。
• 定数レートのバイナリ符号との連結により、バイナリRLCCが得られ、クエリ複雑さとブロック長が定数因子の範囲で保たれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 O(q)-クエリRLCCのブロック長を、定数クエリ複雑さを維持したままO(k^{1+1/q})に改善できるか？
• RQ2 新しい構成が、定数クエリLDCの既知の下界を定数因子の範囲で一致するか。これにより、定数クエリ制約下でのギャップが埋まるか？
• RQ3 リーマン＝ムラー符号上でのCTRwベースのアプローチを、多項式的でないクエリ複雑さを持つ定数レートRLCCに拡張できるか？
• RQ4 定数クエリ複雑さにおいて、標準LDCとRLDCの間にはブロック長の差が存在するか。この差を、改善された構成によって示せるか？
• RQ5 高次元拡張子のどの構造的性質が、効率的なRLCC構成を可能にするか？

主な発見

• 本稿は、O(q)-クエリRLCCを構成し、ブロック長がO(k^{1+1/q})であることを示した。これは、[BGH+06]の以前のO(k^{1+1/√q})の境界を改善する。
• 新しい構成は、[KT00, Woo07]の定数クエリLDCの下界を定数因子の範囲で一致しており、ブロック長においてほぼ最適性を示唆する。
• この手法は緩和局所的訂正可能符号（RLCC）に拡張可能であり、汚染された入力に対して中止を許可する局所的訂正を可能にする。
• 構成は、十分に大きな体のサイズ（|F| ≥ c_q · k^{1/q}）を仮定しており、代数的符号理論における標準的仮定である。
• 同様のパラメータを持つバイナリRLCCは、定数レートのバイナリ符号との連結により得られ、クエリ複雑さとブロック長が定数因子の範囲で保たれる。
• CTRwとPCPの近接性に基づくフレームワークにより、緩和モデルにおける正しさと妥当性の保証を支持する、洗練された合成定理が得られる。