[論文レビュー] Relevant sampling in finitely generated shift-invariant spaces

Hartmut Führ, Jun Xian|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2014

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$L^2(\mathbb{R}^n)$ 内の有限生成でシフト不変な空間に対して、確率的サンプリング枠組みを確立し、生成子にやや弱い条件下で、立方体 $C_R$ 内で $O(R^n \log(R^n / \alpha'))$ 個の独立した一様サンプルが、$C_R$ に集中する関数に対して安定なサンプリングをもたらすことを示している。主な貢献は、生成子の性質から導かれる明示的な定数の境界を備えた高確率的サンプリング推定であり、Bass と Gr"ochenig の関連サンプリング理論を、最小限の生成子に関する仮定のもとで一般のシフト不変空間へと拡張している。

ABSTRACT

We consider random sampling in finitely generated shift-invariant spaces $V(Φ) \subset { m L}^2(\mathbb{R}^n)$ generated by a vector $Φ= (φ_1,\ldots,φ_r) \in { m L}^2(\mathbb{R}^n)^r$. Following the approach introduced by Bass and Gröchenig, we consider certain relatively compact subsets $V_{R,δ}(Φ)$ of such a space, defined in terms of a concentration inequality with respect to a cube with side lengths $R$. Under very mild assumptions on the generators, we show that for $R$ sufficiently large, taking $O(R^n log(R^{n^2/α'}))$ many random samples (taken independently uniformly distributed within $C_R$) yields a sampling set for $V_{R,δ}(Φ)$ with high probability. Here $α' \le n$ is a suitable constant.We give explicit estimates of all involved constants in terms of the generators $φ_1, \ldots, φ_r$.

研究の動機と目的

• 関数のサンプリングを $\mathbb{R}^n$ 全体ではなくコンパクトな立方体 $C_R$ に制限することで、$\mathbb{R}^n$ 上に一様分布がないという問題に対処し、$L^2(\mathbb{R}^n)$ 内の有限生成シフト不変空間に対する関連サンプリング理論を構築すること。
• Bass と Gr"ochenig の関連サンプリング枠組みを、バンドリミテッド関数や三角多項式空間から、生成子に最小限の仮定しか課さない一般の有限生成シフト不変空間へと拡張すること。
• 安定なサンプリングを高確率で達成するために必要なランダムサンプルの数に対する明示的かつ定量的な境界を、生成子関数の性質に基づいて導出すること。
• 関数空間 $V_R(\Phi)$（エネルギーの大部分が $C_R$ に集中する関数の部分集合）に対して、下側および上側のサンプリング境界の明示的定数を備えた完全な確率的サンプリング推定を提供すること。

提案手法

• 生成子 $\Phi$ のシフト不変空間 $V(\Phi)$ 内で、$L^2$ ノルムの少なくとも $(1-\delta)$ が立方体 $C_R = [-R/2, R/2]^n$ 上に集中する関数からなる関数空間 $V_{R,\delta}(\Phi)$ を定義する。
• 生成子のフレームおよび双対フレーム構造を用い、射影作用素 $P_\Phi = \sum_{m,i} (T_m \phi_i) \otimes (T_m \hat{\phi}_i)$ を介して関数を内積による再構成で表現する。
• 局在化作用素 $Q_R P_\Phi$ を導入し、その固有値 $\lambda_j$ と固有関数 $\psi_j$ を用いて、有限次元部分空間 $P_N$ への空間の分解を行う。
• 行列 Bernstein 不等式を用い、期待値からの経験的サンプリング作用素の乖離を制御する。その際、ランダム行列 $T_j = (\delta_{x_j} \otimes \delta_{x_j}) \circ Q_R P_\Phi$ を分析する。
• ランダム点集合の被覆数 $N_0$ の被覆インデックス推定と尾確率の境界を用い、劣悪なサンプリング構成の確率を制御する。
• 有限次元部分空間への射影のノルム推定と確率的集中不等式を組み合わせ、明示的定数を備えた高確率的サンプリング推定を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトな立方体 $C_R$ 内で、高確率で関数 $V_{R,\delta}(\Phi)$ を安定にサンプリングするために必要な、独立した一様ランダムサンプルの最小数は何か？
• RQ2 サンプリング境界は、生成子関数 $\phi_1, \dots, \phi_r$ 及びその性質（減衰性、フレーム境界など）に対してどのように明示的に依存するか？
• RQ3 Bass と Gr"ochenig の関連サンプリング枠組みを、生成子にやや弱い仮定しか課さない一般の有限生成シフト不変空間へと拡張可能か？
• RQ4 サンプリング確率は、集中パラメータ $\delta$、次元 $n$、立方体のサイズ $R$ に対してどのように正確に依存するか？
• RQ5 サンプリング不等式の定数は、生成子関数の $L^2$ ノルム、フレーム境界、減衰率に基づいて、どのように明示的に推定可能か？

主な発見

• 十分に大きな $R$ に対して、$C_R$ 内で $O(R^n \log(R^n / \alpha'))$ 個の独立した一様ランダムサンプルが、高確率で $V_{R,\delta}(\Phi)$ の安定なサンプリング集合を提供する。ここで $\alpha' \leq n$ は生成子の減衰性から導かれる定数である。
• 下側サンプリング境界は $A \|f\|_2^2$ であり、$A = \frac{s}{R^n} \left( \frac{1}{2} - \delta - \nu - 12\delta C_2 \right)$ で与えられる。$\delta$ および $\nu$ に関する所定の条件のもとで $A$ は正であるため、安定性が保証される。
• 上側サンプリング境界は $s C_1^2 \|f\|_2^2$ であり、$C_1 = \sup_x \|v_x\|_2$ は再生核の一様有界性を表す。これにより過剰なサンプリングが回避される。
• 失敗確率は $1 - \text{exp}(-\Omega(s/R^n))$ で有界であり、$R$、$s$、$C_1$、$C_2$、$\delta$ に明示的な依存性を示しており、$s$ が大きい場合には高確率的サンプリングが成立する。
• サンプリング境界の定数は、ベッセル定数 $C_0, \hat{C}_0$、再生核の有界性 $C_1$、プランシュレ＝ポリヤ定数 $C_2$、生成子の減衰定数 $C_3$ に基づいて明示的に推定可能である。
• 結果は、ベッセル境界、有界な点評価、プランシュレ＝ポリヤ不等式、$C_R$ 外部での生成子の多項式的減衰というやや弱い仮定のもとで成り立つ。これらはコンパクトに台を持つ生成子によって満たされる。