[論文レビュー] Reliable and efficient a posteriori error estimates of DG methods for a frictional contact problem

Fei Wang, Weimin Han|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 33被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、第二種の楕円型変分不等式として定式化された摩擦接触問題に適用された不連続ガレルキン（DG）法に対して、信頼性と効率性に優れたa posteriori誤差推定器を提示する。変分不等式の誤差を関連する線形問題の誤差に結びつけることで、残差型推定器を導出し、信頼性と効率性を証明した。境界は、局所的残差、解のジャンプ、およびデータの振動に依存する。

ABSTRACT

A posteriori error estimators are studied for discontinuous Galerkin methods for solving a frictional contact problem, which is a representative elliptic variational inequality of the second kind. The estimators are derived by relating the error of the variational inequality to that of a linear problem. Reliability and efficiency of the estimators are shown.

研究の動機と目的

• 第二種の楕円型変分不等式によって記述される摩擦接触問題に不連続ガレルキン（DG）法を適用したa posteriori誤差推定器の開発。
• 提案された誤差推定器の信頼性と効率性を確立し、適応型有限要素法における真の誤差を正確に反映することを保証する。
• 双対性と残差技術を活用することで、線形問題からのa posteriori誤差解析の枠組みを変分不等式へと拡張する。
• 非滑らかまたは非微分可能な解を有する問題に対して、メッシュの局所的細分化を誘導する計算可能な誤差指標を提供する。
• DG法の柔軟性に起因して、メッシュの不規則性（特にハングドノードを含む）に対しても誤差推定器がロバストであることを保証する。

提案手法

• 変分不等式の誤差を関連する線形楕円型問題の誤差に結びつけることで、a posteriori誤差推定器を導出する。
• 要素の残差、要素界面におけるジャンプ項、およびデータの振動に基づいて、残差型誤差指標を構築する。
• 真の誤差を近似するために、残差および数値フラックスの局所的射影を用いた回復技術を構築する。
• コーシー・シュワルツ不等式と逆不等式を用いて、誤差を局所的残差と解のジャンプの項で上界で評価する。
• 双対問題のアプローチと安定性推定を用いて、誤差指標の整合性と信頼性を制御する。
• 真の誤差、データ振動、および双対解のジャンプを用いて、局所的誤差指標の下界を評価することで、効率性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不連続ガレルキン法を摩擦接触問題に適用した場合、信頼性と効率性に優れたa posteriori誤差推定器を構築できるか？
• RQ2 第二種の変分不等式における誤差を、関連する線形問題の誤差にどのように結びつけることができるか？これにより誤差推定が可能になる。
• RQ3 DG法を用いたこのような問題における局所的誤差指標に寄与する主要な要因（残差、ジャンプ、データ振動）は何か？
• RQ4 提案された推定器は、適応的メッシュ細分化において真の誤差をどの程度正確に反映するか？
• RQ5 標準的な有限要素法の仮定のもとで、推定器の効率性を理論的に証明できるか？

主な発見

• 提案されたa posteriori誤差推定器は信頼性があり、全誤差が局所的誤差指標の和に比例する定数倍で上界で抑えられる。
• 推定器は効率的であり、局所的誤差指標が真の誤差に比例する定数倍で下界で抑えられ、過剰なメッシュ細分化を回避する。
• 効率性の境界には、誤差のエネルギーノルム、双対解のジャンプ、データ振動、および局所的残差項が含まれる。
• 誤差推定器は次の境界を満たす：$ \eta_K \leq C\left(|u - u_h|_{\omega_K} + \sum_{e \in \mathcal{E}(K) \cap \mathcal{E}_2} |\lambda - \lambda_h|_{*,e} + h_K \|f - f_h\|_{\omega_K} + \sum_{e \in \mathcal{E}(K) \cap \mathcal{E}_2} h_e \|\lambda_h - \overline{\lambda}_h\|_e^2 \right) $、ここで $ C $ はメッシュサイズに依存しない。
• 解析により、誤差推定器がメッシュの細分化に対してロバストであり、ハングドノードを含む一般のメッシュに対しても適用可能であることが確認された。