[論文レビュー] Reliable Hubs for Partially-Dynamic All-Pairs Shortest Paths in Directed Graphs

Adam Karczmarz, Jakub Łącki|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 27被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、辺の重みが[1,W]に属する重み付き有向グラフにおける、最初の決定的で部分的動的全点対最短経路アルゴリズムを提示する。このアルゴリズムは、信頼性の高いハブ集合を用いて(1+ǫ)-近似距離の維持を達成し、更新時間が準平方根未塔のサブクアドレティック時間で実現される。本稿では、インクリメンタル設定では決定的アルゴリズム、デクリメンタル設定ではラスベガスアルゴリズムを用いた、新たなハブ維持フレームワークを導入し、近似最短経路木とブロッカー集合技術を活用することで、誤差のない高速な動的APSP計算を実現する。

ABSTRACT

We give new partially-dynamic algorithms for the all-pairs shortest paths problem in weighted directed graphs. Most importantly, we give a new deterministic incremental algorithm for the problem that handles updates in $\widetilde{O}(mn^{4/3}\log{W}/ε)$ total time (where the edge weights are from $[1,W]$) and explicitly maintains a $(1+ε)$-approximate distance matrix. For a fixed $ε>0$, this is the first deterministic partially dynamic algorithm for all-pairs shortest paths in directed graphs, whose update time is $o(n^2)$ regardless of the number of edges. Furthermore, we also show how to improve the state-of-the-art partially dynamic randomized algorithms for all-pairs shortest paths [Baswana et al. STOC'02, Bernstein STOC'13] from Monte Carlo randomized to Las Vegas randomized without increasing the running time bounds (with respect to the $\widetilde{O}(\cdot)$ notation). Our results are obtained by giving new algorithms for the problem of dynamically maintaining hubs, that is a set of $\widetilde{O}(n/d)$ vertices which hit a shortest path between each pair of vertices, provided it has hop-length $Ω(d)$. We give new subquadratic deterministic and Las Vegas algorithms for maintenance of hubs under either edge insertions or deletions.

研究の動機と目的

• モンテカルロ誤差と無作為な敵に対する依存性を抱える確率的動的APSPアルゴリズムの限界を克服すること。
• 有向重み付きグラフにおける(1+ǫ)-近似全点対最短経路を、サブクアドレティックな合計更新時間で維持する決定的インクリメンタルアルゴリズムを設計すること。
• 従来のモンテカルロ確率的デクリメンタルアルゴリズムを、更新時間の漸近的上限を増加させることなく、ラスベガスに改善すること。
• ハブの定義を(1+ǫ)-近似最短経路に基づくものに再定義することで、非重み付きグラフから重み付き有向グラフへのハブ維持技術の拡張を実現すること。
• 適応的敵に対しても正しさを保証する、信頼性の高い決定的ハブ維持を、辺の挿入・削除の両状況で実現すること。

提案手法

• 長さが≥d+1本の辺からなるすべての(1+ǫ)-近似最短経路をカバーする集合として、ハブを新たな定義する。
• 各頂点から深さdまでの(1+ǫ)-近似最短経路木にキングのブロッカー集合アルゴリズムを適用し、信頼性の高いハブ集合を計算する。
• 繰り返し候補ハブ集合をサンプリングし、有効なブロッカー集合が得られるまで検証する、ラスベガス保証付きのサンプリング・バリデーション戦略を採用する。
• ハブ集合の階層H1, H6, H6², ..., H6ᵏを維持し、ホップ閾値を指数関数的に増加させることで、検証コストを削減する。
• 動的木データ構造を用いて、辺の削除に対して最短経路木を維持し、多対数オーダーのオーバーヘッドでブロッカー集合を効率的に検証する。
• 経路分解と連結技術を活用し、ハブ集合を通じて近似距離を伝搬させつつ、(1+ǫ)-近似性を保持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有向グラフにおける(1+ǫ)-近似全点対最短経路を、サブクアドレティックな合計更新時間で維持する決定的インクリメンタルアルゴリズムを設計できるか？
• RQ2 従来のモンテカルロ確率的デクリメンタルAPSPアルゴリズムを、更新時間の漸近的上限を増加させることなく、ラスベガスにアップグレードできるか？
• RQ3 パス長が辺の数ではなく辺の重みに依存する重み付き有向グラフにおいて、ハブ集合を信頼性高く維持するにはどうすればよいか？
• RQ4 正しさを高確率または決定的に保証しつつ、動的更新の下でハブの有効性を維持するために必要な最小限のオーバーヘッドは何か？
• RQ5 多対数オーバーヘッドで、インクリメンタルおよびデクリメンタル更新の両方をサポートするように、ハブ維持フレームワークを拡張できるか？

主な発見

• 本稿では、有向グラフにおける(1+ǫ)-近似APSPの決定的インクリメンタルアルゴリズムを提示し、合計更新時間はeO(mn⁴⁄³ log W / ǫ)で、辺の数に関係なく準平方根未塔の性能を達成する。
• 本稿は、操作あたりの更新時間がo(n²)未塔である、有向グラフにおける最初の決定的部分的動的APSPアルゴリズムを実現し、2乗の壁を破る。
• 無作為な敵仮定の下で、従来のモンテカルロ確率的デクリメンタルAPSPアルゴリズムを、更新時間の漸近的上限を増加させることなく、ラスベガスに改善した。
• 新しいハブ定義（(1+ǫ)-近似最短経路に基づくもの）により、従来のホップベースのハブモデルに起因する制限を克服し、重み付きグラフにおける信頼性の高い維持が可能になった。
• 階層的ハブ集合H1, H6, H6², ..., H6ᵏの使用により、検証コストが削減され、動的ハブ維持の合計更新時間はeO(nm)にまで低下した。
• 本フレームワークにより、既存のAPSPデータ構造を信頼性の高いハブ集合に置き換えることが可能となり、パrameterを調整することで：hを多対数因子増加させ、ǫ′を多対数因子減少させることで実現できる。