[論文レビュー] Reliable Simulation of Quantum Channels: the Error Exponent

Ke Li, Yongsheng Yao|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、古典的通信と無制限の共有もつれを用いた量子チャネルのシミュレーションにおける正確な信頼性関数を確立する。通信レートが臨界閾値未満の場合に、1から2の順序の間のサンドイッチ型Rényi相互情報量を用いて、タイトな達成可能および逆方向の境界を導出する。これにより、この量の初めての運用的解釈が得られ、実用的応用における有限ブロック長性能境界が得られる。

ABSTRACT

The Quantum Reverse Shannon Theorem has been a milestone in quantum information theory. It states that asymptotically reliable simulation of a quantum channel, assisted by unlimited shared entanglement, requires a rate of classical communication equal to the channel's entanglement-assisted classical capacity. In this paper, we study the error exponent of quantum channel simulation, which characterizes the optimal speed of exponential convergence of the performance towards the perfect, as the blocklength increases. Based on channel purified distance, we derive lower and upper bounds for the error exponent. Then we show that the two bounds coincide when the classical communication rate is below a critical value, and hence, we have determined the exact formula of the error exponent in the low-rate case. This enables us to obtain an operational interpretation to the channel's sandwiched Rényi information of order from 1 to 2, since our formula is expressed as a transform of this quantity. In the derivation, we have also obtained an achievability bound for quantum channel simulation in the finite-blocklength setting, which is of realistic significance.

研究の動機と目的

• 古典的通信と共有もつれの下での量子チャネルシミュレーションの指数的収束速度（信頼性関数）を特徴づけること。
• 古典的通信レートが臨界閾値未満の場合の信頼性関数の正確な式を特定すること。
• 複数の量子チャネルコピーをシミュレートするための有限ブロック長達成可能境界を提供し、実用的関連性を高めること。
• チャネルシミュレーションの文脈において、1から2の間の順序のサンドイッチ型Rényi相互情報量の運用的解釈を確立すること。

提案手法

• サンドイッチ型Rényi散発度および相互情報量を用いて、信頼性関数のタイトな上界および下界を導出する。
• サンドイッチ型Rényi散発度のデータ処理不等式を適用し、チャネルシミュレーション性能の境界を確立する。
• 関数 $ s \mapsto sI_{1+s}(\mathcal{N}) $ の凸性および単調性の性質を用いて、信頼性関数の挙動を分析する。
• フラッグ系における古典的測定マップを含むプロトコルを導入し、チャネルをシミュレートし、その忠実度を分析する。
• チャネルシミュレーションと状態識別との双対性を活用し、Rényi散発度の最小化を介して境界を導出する。
• Rényi相互情報量の変分表現を用いて、信頼性関数を $ I_{\alpha}(\mathcal{N}) $ の形で表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的通信と無制限のもつれを用いた量子チャネルのシミュレーションにおいて、通信レートが臨界値未満の場合の正確な信頼性関数は何か？
• RQ2 ブロック長が増加するにつれて、シミュレーション誤差はどの程度指数的に減少するのか？ そしてその減少率を決定するのは何か？
• RQ3 1から2の間の順序のサンドイッチ型Rényi相互情報量は、量子チャネルシミュレーションの文脈で運用的に解釈可能か？
• RQ4 複数の量子チャネルコピーをシミュレートするための有限ブロック長性能境界は、どのように導出可能か？

主な発見

• 古典的通信レートが臨界値 $ R_{\text{critical}} $ 未満の場合、信頼性関数が正確に特定され、その正確な式がサンドイッチ型Rényi相互情報量 $ I_{\alpha}(\mathcal{N}) $ を用いて表現される。
• レート $ r > R_{\text{critical}} $ の場合、下界は線形に: $ E_l(r) = \frac{1}{2}(r - I_2(\mathcal{N})) $ となり、指数的減少率が単純化されることを示す。
• $ I_{\text{max}}(\mathcal{N}) = \lim_{s\to\infty} I_{1+s}(\mathcal{N}) $ よりも高いレートでは、信頼性関数の上界が無限大に発散し、有限の指数的減少率が存在しないことを示す。
• $ \mathcal{N}^{\otimes n} $ をシミュレートするための明示的な有限ブロック長達成可能境界が導出され、実用的チャネルシミュレーションの現実的な性能推定が可能になる。
• 1から2の間の順序 $ \alpha \in (1,2] $ のサンドイッチ型Rényi相互情報量は、チャネルシミュレーションの信頼性を支配する主要な量として運用的に解釈される。