[論文レビュー] Remark on a conjecture of Mukai

Arnaud Beauville|ArXiv.org|Oct 17, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、一般の曲線 C 上のランク 2 ベクトルバンドル E に対して、Mukai の予想である乗法写像 μ_E の単射性を、det E = K_C のもとで証明している。h⁰(E) ≤ 6 のとき、μ_E は単射である。証明は Brill-Noether 理論とグラスマン多様体への写像の像に課される幾何的制約を用い、ランク ≤6 の核テンソルの存在が、Brill-Noether 一般曲線におけるラインバンドルのコホモロジー境界と矛盾することを示している。

ABSTRACT

Let C be a general curve. Mukai asked whether for every stable rank 2 vector bundle E on C with det(E) = K, the multiplication map Sym^2 H^0(C,E) --> H^0(C, Sym^2 E) is injective. We observe that this holds when h^0(E) < 7 .

研究の動機と目的

• 一般の曲線上の安定ランク 2 ベクトルバンドル E に対して、det E = K_C のもとで乗法写像 μ_E の単射性に関する Mukai の予想を証明すること。
• n ≤ 6 のとき、そのようなバンドルのモジュライ空間内の層 M_K^n が滑らかで、正しい余次元をもつことを確立すること。
• Brill-Noether 理論のランク 2 バンドルへの類似を拡張し、曲線の genus g ≤ 9 に対して予想が成り立つことを示すこと。
• h⁰(E) ≤ 6 の境界が鋭いかどうかを示すために、高 genus 曲線上で h⁰(E) ≥ 7 の反例を構成すること。
• 核テンソルの低ランクが、グラスマン多様体 GO(2,n) への写像の像に課す幾何的制約を分析すること。

提案手法

• 高 genus 曲線では一般に成り立つ、E のすべての部分ラインバンドル L に対して対称平方写像 μ_L が単射であるという条件 (⋆) を用いる。
• S²H⁰(E) 内に非ゼロの核テンソル τ が存在すると仮定し、τ をセクションの平方の和に分解することで、n ≥ 7 の仮定に到達する。
• セクションによって定義される写像 φ: P_C(F) → P^{n−1} を実現し、その像が X₁² + ... + X_n² = 0 で定義される滑らかな二次曲面 Q に含まれることを示す。
• 関連する写像 γ: C → G(2,n) を、自己正規化 2 次元部分空間をパラメトライズする正規直交グラスマン多様体 GO(2,n) を通して因数分解する。
• n ≤ 6 のとき、Plücker 線束 O_G(1) が GO(2,n) に制限されると、2 つの全域的生成ラインバンドルの直和に分解され、K_C の分解が得られる。
• Brill-Noether 理論を用いて矛盾を導く：この分解は、h⁰(L) ≥ 2 かつ deg L ≤ g+1 を満たすラインバンドル L の存在を示し、Brill-Noether 一般曲線における乗法写像の単射性に反する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 安定ランク 2 ベクトルバンドル E に対して、det E = K_C かつ h⁰(E) ≤ 6 のとき、乗法写像 μ_E: S²H⁰(E) → H⁰(S²E) は単射のままであるか？
• RQ2 n ≤ 6 のとき、そのようなバンドルのモジュライ空間 M_K^n が M 内で余次元 ½n(n+1) の滑らかな多様体として成り立つかどうかを示せるか？
• RQ3 Mukai の予想は genus g ≤ 9 の曲線に対して成り立ち、これは μ_E の単射性に帰着するか？
• RQ4 追加の仮定なしに、h⁰(E) ≤ 6 の境界を改善できるか、それとも h⁰(E) ≥ 7 の反例が存在するか？
• RQ5 ランク 7 の核テンソルが存在する場合、どのような幾何的障害が生じ、これは正規直交グラスマン多様体 GO(2,n) の構造とどのように関係するか？

主な発見

• det E = K_C かつ h⁰(E) ≤ 6 を満たすすべての安定ランク 2 ベクトルバンドル E に対して、予想が成り立ち、μ_E が単射であることが証明された。
• すべての n ≤ 6 に対して、モジュライ空間 M_K^n は M 内で余次元 ½n(n+1) の滑らかな多様体であり、Brill-Noether 理論の類似が正当化された。
• すべての genus g ≤ 9 の曲線に対して Mukai の予想が検証された。この範囲では、h⁰(E) ≤ g/2 + 2 という境界により h⁰(E) ≤ 6 が成り立つ。
• 各 s ≥ 5 に対して、genus g = 2s で Brill-Noether 一般な曲線 C と、det E = K_C を満たす安定バンドル E が存在し、Ker μ_E にランク 7 のテンソルを含む。
• h⁰(E) ≤ 6 を超えて結果を拡張できない主な障害は、n ≥ 7 のとき Pic(G(2,n)) → Pic(GO(2,n)) が同型となることにより、分解の議論が崩れることにある。
• genus g = 2s かつ h⁰(E) = s+2 のとき、μ_E の核の次元は ≥ s−4 であり、構成された反例ではすべての非ゼロ要素が正確にランク 7 をもつ。