[論文レビュー] Remark on the Calabi flow with bounded curvature

Gábor Székelyhidi|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、一様な曲率の下でかつMabuchiエネルギーが適切であるという条件下で、コンpaktoなケーラー多様体上のCalabiフローが、定数スカラー曲率計量へ指数関数的に収束することを確立する。証明は背理法に依拠し、調和写像の$\epsilon$-正則性、擬上への正則関数およびLelong数の性質を用いて、一様な計量同値性と高次の正則性を導出する。

ABSTRACT

In this short note we prove that if the curvature tensor is uniformly bounded along the Calabi flow and the Mabuchi energy is proper, then the flow converges to a constant scalar curvature metric.

研究の動機と目的

• 曲率が有界でMabuchiエネルギーが適切である条件下で、Calabiフローが定数スカラー曲率計量へ収束することを確立すること。
• 曲率テンソルの均一な有界性と$I$-汎関数の有界性が、ケーラー計量の均一な同値性を意味することを示すこと。
• $I$-汎関数の有界性が鋭いことを示すために、$p<2$ の $L^p$-有界性が計量の崩壊を制御できない反例を構成すること。
• トーリック多様体に限らない一般のコンパクトケーラー多様体に対して、曲率およびエネルギー条件の下で結果を拡張すること。
• 暗黙の定数$C$の明示的制御を避ける背理法に基づく正則性の均一性の証明を提供すること。

提案手法

• 計量$\omega_{\varphi}$が$\omega$に対して一様に同値でないならば、エネルギー密度$e(\varphi) = \Delta\varphi + n$が集中するはずであり、これにより$\epsilon$-正則性推定式が破られるという背理法を用いる。
• Schoen-Uhlenbeckによる調和写像の$\epsilon$-正則性推定式を適用し、球面上での積分的制御により$e(\varphi)$の局所的有界性を制御する。
• $\mathcal{E}^1(M,\omega)$に属する擬上への正則関数のLelong数がゼロであるという性質を用いて、$I$-汎関数における質量の集中を除外する。
• 曲率とリッチ曲率の制御から得られるラプラシアンの有界性を用いて、対数的計量比$F_k = \log(\omega_k^n / \omega^n)$の$L^2$および$L^4$有界性を導出する。
• グリーンの公式およびソボレフ埋め込みを用いて、$F_k$の$L^p$有界性を$C^{3,\alpha}$有界性へ高める。これにより、$\omega_k$に対する$C^{1,\alpha}$制御が得られる。
• Mabuchiエネルギーの適切性を用いて、フローに沿って$I(\varphi_t)$が一様に有界であることを保証し、これにより定理1の適用が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲率とMabuchiエネルギーの適切性の仮定のみで、Calabiフローは定数スカラー曲率計量へ収束可能か？
• RQ2 $I$-汎関数の有界性は、均一な計量同値性に不可欠であるか、それとも$|\partial\varphi|^2$の弱い$L^p$-ノルムで十分か？
• RQ3 直径の制御が欠如している場合、Calabiフローの正則性および収束性にどのような影響があるか？
• RQ4 背理法に基づく証明技法は、均一同値性定数$C$の明示的境界を導けるか？
• RQ5 $I$-汎関数条件の鋭さは、$\partial\varphi$の勾配の$L^p$-可積分性の観点からどのように評価できるか？

主な発見

• 曲率テンソルが一様に有界でMabuchiエネルギーが適切であるならば、Calabiフローは定数スカラー曲率計量へ指数関数的に収束する。
• $I$-汎関数の有界性は鋭い：例7では、$p<2$ に対して $|\partial\varphi|^2$ の $L^p$-有界性が計量の崩壊を防げないことが示されている。
• 一様な曲率と $I(\varphi) < K$ は、ある $C > 0$ に対して $\omega_\varphi > C^{-1}\omega$ および $\|\omega_\varphi\|_{C^{1,\alpha}(\omega)} < C$ という均一同値性を意味する。
• 証明は背理法、調和写像の$\epsilon$-正則性、および$\mathcal{E}^1$に属する擬上への正則関数のLelong数がゼロであるという性質に依拠する。
• MabuchiエネルギーはCalabiフローに沿って減少し、その適切性により $I(\varphi_t)$ が一様に制御され、定理1の適用が可能になる。
• Calabiエネルギーの指数的減衰およびフローの滑らかさの性質から、$S(\omega_t) - \hat{S} \to 0$ がすべての$C^k$ノルムで成り立つ。