[論文レビュー] Remarks on diameter 2 properties

Trond A. Abrahamsen, Vegard Lima+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2013

Advanced Banach Space Theory参考文献 18被引用数 38

ひとこと要約

この論文は、無限次元一様代数、Daugavet性を持つ空間、および適切なM埋め込み空間が、直径2性質に加えてより強い強直径2性質を有することを確立している。強直径2性質とは、単位球内の相対的弱開集合の任意の有限凸結合の直径が2に等しいことを意味する。さらに、ℓp和としての直径2性質を有する空間、特にc₀⊕₂c₀を含むものについて、強直径2性質が保存されることを示しており、従来のM構造およびL構造の例に加えて、新たなクラスの空間を拡張している。

ABSTRACT

If $X$ is an infinite-dimensional uniform algebra, if $X$ has the Daugavet property or if $X$ is a proper $M$-embedded space, every relatively weakly open subset of the unit ball of the Banach space $X$ is known to have diameter 2, i.e., $X$ has the diameter 2 property. We prove that in these three cases even every finite convex combination of relatively weakly open subsets of the unit ball have diameter 2. Further, we identify new examples of spaces with the diameter 2 property outside the formerly known cases; in particular we observe that forming $\ell_p$-sums of diameter 2 spaces does not ruin diameter 2 structure.

研究の動機と目的

• Banach空間のℓp和において直径2性質が保存されるかどうかを調査すること。
• 既知のクラス、例えば無限次元一様代数、Daugavet空間、および適切なM埋め込み空間において強直径2性質が成立するかどうかを特定すること。
• このような空間の単位球における弱開集合の有限凸結合が常に直径2を有するかどうかを調査すること。
• 従来のM構造およびL構造の例に加えて、強直径2性質を有する新たなクラスの空間を同定すること。

提案手法

• 著者たちは、強直径2性質と、双対の双対における任意の有限凸結合が弱*-スライスを有するときの直径が2に等しいという性質との同値性を用いる。
• Goldstineの定理を適用して、双対の双対における弱*-稠密スライスを元の空間のスライスに関連付ける。
• M-イデアルおよびL射影の構造を用いて、双対の分解X** = Y⊥⊥ ⊕∞ Z⊥を分析する。
• σ(X,Z)-位相およびネット収束を用いて、近似直径2ノルムを達成する凸結合内の点を構成する。
• Bourgainの補題を適用し、任意の空でない相対的弱開集合がスライスの有限凸結合を含むことを保証する。
• L射影の像が1-ノルム化可能であるならば、強直径2性質が部分空間から全体空間へと持ち上がるということを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 直径2性質を有するBanach空間のℓp和すべてについて、強直径2性質が成立するか？
• RQ2 無限次元一様代数およびDaugavet性を持つ空間について、強直径2性質を確立できるか？
• RQ3 L射影の像が1-ノルム化可能である場合、M-イデアルの包含関係において強直径2性質が保存されるか？
• RQ4 適切なM埋め込み空間の双対は、強直径2性質を継承するか？
• RQ5 M構造およびL構造の例に加えて、強直径2性質を有する新たなBanach空間のクラスは存在するか？

主な発見

• すべての無限次元一様代数において強直径2性質が成立する。
• すべてのDaugavet性を持つBanach空間において強直径2性質が成立する。
• すべての適切なM埋め込み空間およびその双対において強直径2性質が成立する。
• 強直径2性質を有する任意の2つのBanach空間のℓp和、c₀⊕₂c₀を含むものも、強直径2性質を有する。
• 元の空間がM構造またはL構造でない場合でも、ℓp和において強直径2性質が保存される。特にc₀⊕₂c₀の例が該当する。
• 強直径2性質は、単位球内の相対的弱開集合の任意の有限凸結合の直径が2に等しいことを意味する。