[論文レビュー] Remarks on Gurarii spaces

Joanna Garbulińska, Kubi\'s, Wies{\l}aw|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2011

Advanced Banach Space Theory被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Gurariï空間およびその非可分および強いバージョンを調査し、非可分Gurariï空間を可分部分空間のスケルトンを用いて特徴づけ、恒等射の射影的分解を有する非可分Gurariï空間を構成する。また、強いGurariï空間が弱いLindelöf決定的であることは不可能であることを証明し、プッシュアウト反復によって構築されたGurariï空間において、c₀のすべてのコピーが補完可能であることを示す。

ABSTRACT

We present selected known results and some of their improvements, involving Gurarii spaces. A Banach space is Gurarii if it has certain natural extension property for almost isometric embeddings of finite-dimensional spaces. Deleting the word "almost", we get the notion of a strong Gurarii space. There exists a unique (up to isometry) separable Gurarii space, however strong Gurarii spaces cannot be separable. The structure of the class of non-separable Gurarii spaces seems to be not very well understood. We discuss some of their properties and state some open questions. In particular, we characterize non-separable Gurarii spaces in terms of skeletons of separable subspaces, we construct a non-separable Gurarii space with a projectional resolution of the identity and we show that no strong Gurarii space can be weakly Lindel\"of determined.

研究の動機と目的

• 本稿の目的は、非可分Gurariï空間の構造と可分部分空間との関係を明確にすることである。
• 強いGurariï空間の存在と性質、特に弱いLindelöf決定的構造とは相性が悪いことの調査である。
• 著者たちは、c₀がGurariï空間における果たす役割と、プッシュアウト構成における補完性の性質を理解することを目的としている。
• 回転型の再ノルム化と一様同型性が、普遍的配置空間に与える影響を検討する。
• 普遍的配置、均一性、およびアーマルガメーションを有する非ユークリッド的有限次元空間のクラスの存在に関する未解決問題を取り上げる。

提案手法

• 著者たちは、有限次元バナッハ空間からGurariï空間を生成するために、プッシュアウト構成を主要な技術として用いる。
• 可分部分空間のスケルトンを用いて、非可分Gurariï空間を特徴づけることで、構造的基準を提供する。
• 射影的分解の恒等射（PRI）の証明は、互換性のある射影を有する可分部分空間の順序数列を構成することに依拠する。
• プッシュアウトで構築された空間におけるc₀の補完性は、[1]の議論を用いて確立され、このような空間が1-補完可能なc₀のコピーを含むことが示される。
• 本稿は、強制法と絶対性の議論を用いて、可分空間に対する普遍的配置空間であるバナッハ空間が回転型の再ノルム化を許容できないことを示す。
• Fraïssé-Jónsson極限と普遍的配置の理論を用いて、Gurariï性質をより大きなバナッハ空間のクラスへ一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 射影的分解の恒等射を有する非可分Gurariï空間を構成することは可能か？
• RQ2 強いGurariï空間が弱いLindelöf決定的であることは可能か？
• RQ3 プッシュアウト反復によって構築されたGurariï空間において、c₀のすべてのコピーが補完可能か？
• RQ4 可分空間に対する普遍的配置空間であるバナッハ空間が回転型の再ノルム化を許容できるか？
• RQ5 アーマルガメーション性を持つ有限次元バナッハ空間のクラスKが存在し、Banach-Mazur空間において稠密ではなく、ユークリッド空間でなく、非ヒルバート的かつほぼ均一な空間をもたらすか？

主な発見

• 射影的分解の恒等射を有する非可分Gurariï空間が存在し、このような空間が豊かな幾何的構造を有することを示した。
• 強いGurariï空間は弱いLindelöf決定的であることは不可能であり、これは根本的な構造的制限を示している。
• プッシュアウト反復によって構築されたGurariï空間において、c₀のすべてのコピーが補完可能である。この性質は密度に依存しない。
• 非可分Gurariï空間のクラスは、特定の拡張性質を満たす可分部分空間のスケルトンの存在によって特徴づけられる。
• 回転型の再ノルム化を許容する非可分Gurariï空間が存在し、このような幾何的性質が排除されないことを示した。
• 本稿は、強制法と絶対性の議論を用いて、可分空間に対する普遍的配置空間である空間が回転型の再ノルム化を許容できないことを証明した。この結果は、集合論的仮定に依存しない定理として確立された。