[論文レビュー] Remarks on Nehari's problem, matrix $A_2$ condition, and weighted bounded mean oscillation

Alexander Volberg, Peter Yuditskii|ArXiv.org|Mar 15, 2008

Holomorphic and Operator Theory参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、解の一意でない場合のネハリ問題に、生成関数 $\phi$ の正則性に関する新しい十分条件を導入することで対処する。$H^\infty$-パrametrizationにおける正則性を重み付き有界変動平均（BMO）および行列 $A_2$ 条件と結びつける。$\phi$ が $|f - \langle f\rangle_I|^2 / (1 - |f|^2)$ 上である種の $A_2$-型条件を満たすならば、関連するハンケル作用素のノルムが1未満であることを証明する。主な貢献は、$w \in A_2$ のとき、$w_c = (1 - |\phi_c|^2)/|1 - \phi_c|^2$ のヘルグロート表現における特異部の不在を直接証明することであり、調和拡張とトーペィツ作用素の可逆性を用いて、正則性の新しい基準を確立する。

ABSTRACT

We consider Nehari's problem in the case of non-uniqueness of solution. The solution set is then parametrized by the unit ball of $H^{\infty}$ by means of so-called {\em regular generators} -- bounded holomorphic functions $ϕ$. The definition of {\em regularity} is given below, but let us mention now that 1) the following assumption on modulus of $ϕ$ is sufficient for {\em regularity}: $\frac{1}{1-|ϕ|^2}\in L^1(\mathbb{T})$; 2) there is no necessary and sufficient condition of {\em regularity} on bounded holomorphic $ϕ$ in terms of $|ϕ|$ on $\mathbb{T}$, \cite{Kh1}. This makes reasonable the attempt to find a weaker sufficient condition on $|ϕ|$ than the condition in 1). This is done here. Also we are discussing certain new necessary and sufficient conditions of {\em regularity} in terms of bounded mean (weighted) oscillations of $ϕ$. They involve the matrix $A_2$ condition from \cite{TV}.

研究の動機と目的

• 解が一意でない場合のネハリ問題の正則解を特徴づけること。
• 正則性のための $1/(1 - |\phi|^2) \in L^1$ よりも弱い、$\mathbb{T}$ 上の $|\phi|$ に関する十分条件を同定すること。
• 重み付き有界変動平均（BMO）および行列 $A_2$ 条件を用いた正則性の必要十分条件を確立すること。
• $w \in A_2$ のとき、$w_c = (1 - |\phi_c|^2)/|1 - \phi_c|^2$ のヘルグロート表現における特異部の不在を、アーロフ＝ダイム理論に依存しない直接的証明で示すこと。

提案手法

• 有界な正則関数 $\phi \in H^\infty$ で $\|\phi\|_\infty \leq 1$、$\int_\mathbb{T} \log(1 - |\phi|) \, dm > -\infty$、$\phi(0) = 0$ を満たすものによるネハリ問題の解集合をパラメータ表示すること。
• ユニタリ行列 $\mathcal{S}_\phi = \begin{bmatrix} \phi & \psi \\ \psi & f_0 \end{bmatrix}$ を導入し、ここで $\psi$ は $\log(1 - |\phi|^2)$ のヘルグロート積分によって定義される外的関数であり、$f_0 = -\bar{\phi}\psi / \bar{\psi}$ である。
• 関数 $f = \phi$ に関する重み付き $A_2$-型条件 $\sup_I \frac{1}{|I|} \int_I \frac{|f - \langle f\rangle_I|^2 + (1 - |\langle f\rangle_I|^2)}{1 - |f|^2} \, dm < \infty$ を定義し、これによりハンケル作用素 $\Gamma x = P_-(f x)$ のノルム $\|\Gamma\| < 1$ が保証されることを示すこと。
• 関数 $w = (1 - |\phi|^2)/|1 - \phi|^2$ のヘルグロート表現を用い、$w \in A_2$ ならば任意の実数 $c$ に対して $w_c = (1 - |\phi_c|^2)/|1 - \phi_c|^2$ がそのヘルグロート分解において特異部を持たないことを、調和拡張およびトーペィツ作用素の可逆性を用いて示すこと。
• $\Gamma_{\bar{g}_c / g_c} = e^{-ic} \Gamma_{\bar{g}_0 / g_0}$ を証明し、ヘルドン＝ツェゴーの定理を用いて $|g_0|^2 \in A_2$ のとき $\|\Gamma_{\bar{g}_0 / g_0}\| < 1$ であることを示し、これによりトーペィツ作用素の可逆性が得られることを示すこと。
• $|1 - \phi_c|^2 / (1 - |\phi|^2) \in A_2$ を示すために、$1/g_c \in H^2$ であり、$g_c$ が $|h|^2 \in A_2$ を満たす $H^2$ 関数の定数倍であることを示し、$A_2$ 条件と $\phi$ の正則性を結びつけること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解の生成関数 $\phi$ の正則性を保証する $1/(1 - |\phi|^2) \in L^1$ よりも弱い、$\mathbb{T}$ 上の $|\phi|$ に関する十分条件は何か？
• RQ2 行列 $A_2$ 条件を用いて、$f = \phi$ の重み付き有界変動平均（BMO）に関する $\phi$ の正則性を特徴づけられるか？
• RQ3 $w \in A_2$ のとき、$w_c = (1 - |\phi_c|^2)/|1 - \phi_c|^2$ のヘルグロート表現における特異部の不在は成立するか？
• RQ4 関数 $f = \phi$ が $A_2$-型条件 $\sup_I \frac{1}{|I|} \int_I \frac{|f - \langle f\rangle_I|^2 + (1 - |\langle f\rangle_I|^2)}{1 - |f|^2} \, dm < \infty$ を満たすならば、ハンケル作用素のノルム $\|\Gamma\| < 1$ が保証されるか？
• RQ5 生成関数 $g_c = (1 - \phi_c)/\psi$ から得られるユニモジュラー記号を用いたトーペィツ作用素の可逆性によって、$\phi$ の正則性を特徴づけられるか？

主な発見

• $f = \phi$ に対して条件 $\sup_I \frac{1}{|I|} \int_I \frac{|f - \langle f\rangle_I|^2 + (1 - |\langle f\rangle_I|^2)}{1 - |f|^2} \, dm < \infty$ が成り立つならば、ハンケル作用素 $\Gamma x = P_-(f x)$ のノルム $\|\Gamma\| < 1$ が保証され、これにより $\phi$ がネハリ問題の正則解を生成することが保証される。
• $w = (1 - |\phi|^2)/|1 - \phi|^2 \in A_2$ ならば、$w$ の調和拡張により $\|\phi\|_\infty \leq 1$ を満たす $\phi \in H^\infty$ が得られ、任意の実数 $c$ に対して関連する $w_c = (1 - |\phi_c|^2)/|1 - \phi_c|^2$ はそのヘルグロート表現において特異部を持たず、これは $w_c$ が純粋に絶対連続であることを意味する。
• 関数 $g_c = (1 - \phi_c)/\psi$ は $g_c \in H^2$ を満たし、ハンケル作用素 $\Gamma_{\bar{g}_c / g_c}$ のノルムは1未満である。これはトーペィツ作用素 $T_{\bar{g}_c / g_c}$ の可逆性を意味する。
• 恒等式 $\Gamma_{\bar{g}_c / g_c} = e^{-ic} \Gamma_{\bar{g}_0 / g_0}$ が成り立ち、$|g_0|^2 \in A_2$ ならばヘルドン＝ツェゴーの定理により $\|\Gamma_{\bar{g}_0 / g_0}\| < 1$ であるため、ノルム条件は回転に対して保存される。
• $1/g_c = \psi / (1 - \phi_c)$ は $H^2$ に属し、$1/|g_c|^2 = \operatorname{Re} \left( \frac{1 + \phi_c}{1 - \phi_c} \right)$ が正の実部を持つことから、$|1 - \phi_c|^2 / (1 - |\phi|^2) \in A_2$ であることが従う。これは正則性に関する新しい $A_2$-基盤の基準を提供する。
• $w_c$ のヘルグロート表現における特異部の不在は、$w_c$ が一様に $A_2$ に属することと同値であり、これは $T_{\bar{g}_c / g_c}$ の可逆性および $g_c$ が $|h|^2 \in A_2$ を満たす $H^2$ 関数の定数倍であることから示される。