[論文レビュー] Remarks on nonrelativistic Goldstone bosons

Anton Kapustin|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2012

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions参考文献 7被引用数 29

ひとこと要約

この論文は、時間反転対称性が弱く破れる場合に真のゴールドストーン粒子とともに出現する 'ほぼゴールドストーンモード' を特定することで、非相対論的ゴールドストーン粒子に対する有効場理論のアプローチを精緻化する。理論は、破れた生成子の数 $ N $ に等しいゴールドストーンおよびほぼゴールドストーンモードの総数が、行列 $ B $ のランクによって制御されることを証明し、タイプAゴールドストーン粒子がタイプBゴールドストーン粒子とほぼゴールドストーン状態にペアリングされることで、ワタナーベ＝ブロイナーの数え上げ則に物理的メカニズムを提供する。

ABSTRACT

We discuss excitations in nonrelativistic field theories with spontaneous breaking of a continuous global symmetry. It is known that in such systems there are two types of Goldstone bosons (Type A and Type B) whose dispersion law is generically linear or quadratic, respectively. We show that Type B Goldstone bosons may have gapped partners which we call almost-Goldstone bosons. With some nondegeneracy assumption about the low-energy effective action, the total number of Goldstone and almost-Goldstone bosons adds up to the number of broken symmetry generators. We propose that deviations of the dispersion law of Goldstone bosons from linearity at small momenta may serve as a signature of small breaking of time-reversal symmetry.

研究の動機と目的

• 非相対論的系において、 spontaneously broken な連続対称性のもとでのタイプI（A）およびタイプII（B）ゴールドストーン粒子の起源と数え上げを明確化すること。
• 時間反転対称性がわずかに破れるとき、有効作用に現れるギャップを持つ 'ほぼゴールドストーン粒子' を特定・特徴づけること。
• 2つのタイプAゴールドストーン粒子が1つのタイプBゴールドストーン粒子と1つのほぼゴールドストーン粒子にペアリングされる物理的メカニズムを提供し、ランクに基づく数え上げ則 $ n_A = N - \text{rank}\,B $, $ n_B = \frac{1}{2}\text{rank}\,B $ を説明すること。
• 非退化な標的空間計量の条件下で、ギャップなしモードとギャップありモードの総数が破れた生成子の数 $ N $ に等しいことを示すこと。

提案手法

• 時間微分の一次および二次項を含む、順序パラメータ場 $ \phi $ の一次元有効作用を定式化し、$ A_i $ 項における空間微分依存性を許容することで、先行研究を一般化する。
• 正準変換を導入して運動量を再定義し、逆計量 $ G^{ij} $ とゲージ的項 $ A_i $ を含む修正されたハミルトニアン密度を持つ標準的なハミルトニアン形式に作用を変換する。
• 定常真空周りでハミルトニアンを二次形式に展開し、$ B_{ik}(-i\nabla) $ および $ \Omega^2_{ij}(-i\nabla) $ を含む行列構造を持つ二次形式を得る。
• 運動量空間における二次ハミルトニアンのスペクトルを解析し、2種類のモードを特定：ギャップなしゴールドストーンモード（タイプA）とギャップありほぼゴールドストーンモード（タイプB）。分散関係は $ B $ 行列の固有値と $ \Omega^2 $ 演算子の固有値によって決定される。
• ほぼゴールドストーン粒子の数が $ \frac{1}{2}\text{rank}\,B $ であることを確立し、各ペアのタイプAゴールドストーン粒子が1つのタイプBゴールドストーン粒子と1つのほぼゴールドストーン粒子に結合できることを示し、ワタナーベ＝ブロイナーの公式の物理的根拠を提供する。
• 対称性の制約を検討し、時間反転対称性が正確に成立する場合にはタイプBゴールドストーン粒子が禁止されるが、弱く破れる場合には一般に出現することを示し、小運動量領域での線形分散からのずれ（特に二次則）がその破れの兆候であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的ゴールドストーンモードを超えて有効作用に現れる $ \frac{1}{2}\text{rank}\,B $ 個のほぼゴールドストーン粒子の起源は何か？
• RQ2 2つのタイプAゴールドストーン粒子が1つのタイプBゴールドストーン粒子と1つのほぼゴールドストーン粒子にペアリングされるメカニズムが、ワタナーベ＝ブロイナーの数え上げ則をどのように説明するか？
• RQ3 時間反転対称性が正確に成立する場合にはなぜタイプBゴールドストーン粒子が存在しないのか？ また、その出現は対称性の小さな破れをどのように示唆するか？
• RQ4 1次元空間における有効作用の物理的解釈は何か？ ここで $ B $ 行列は非ゼロだが、ゼロモードは物理的でない。
• RQ5 特にコンパクトな単純非可換群において、対称性が対角部分群に、あるいは完全に破れる場合に、タイプBゴールドストーン粒子が存在する条件は何か？

主な発見

• 有効作用にはギャップなしゴールドストーン粒子に加え、ギャップを持つ 'ほぼゴールドストーン粒子' も含まれ、標的空間計量が非退化な場合、その数は $ \frac{1}{2}\text{rank}\,B $ である。
• 物理的モード（ゴールドストーンおよびほぼゴールドストーン）の総数は、破れた生成子の数 $ N $ に等しく、低エネルギースペクトルにおけるモードの完全な数え上げを確認する。
• 各ペアのタイプAゴールドストーン粒子は、1つのタイプBゴールドストーン粒子と1つのほぼゴールドストーン粒子に結合可能であり、そのペア数は $ \text{rank}\,B $ に等しい。これにより、ワタナーベ＝ブロイナーの公式の物理的メカニズムが得られる。
• タイプBゴールドストーン粒子の分散関係は $ \epsilon(\mathbf{q}) = K_{\alpha\beta}\mathbf{q}^\alpha\mathbf{q}^\beta + \cdots $ であり、ほぼゴールドストーンモードは $ \epsilon(\mathbf{q}) = 2b(0) + K_{\alpha\beta}\mathbf{q}^\alpha\mathbf{q}^\beta + \cdots $ である。定数項 $ 2b(0) $ がギャップの存在を示唆する。
• 小運動量領域での分散関係が線形からずれ（特に二次則に比例）することは、時間反転対称性の小さな破れの兆候であり、これによりタイプBゴールドストーン粒子が出現可能となる。
• 1次元空間では、作用が右向き粒子を記述し、分散関係が $ \epsilon(\mathbf{q}) = \mathbf{q}^m $ と表される。ゼロモードは物理的でないが、理論は一貫しており、真のゴールドストーンモードが存在しないにもかかわらず 'タイプA' システムを記述する。