[論文レビュー] Remarks on partition functions of topological string theory on generalized conifolds

Kanehisa Takasaki|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、一般化されたコンファイルド上のトポロジカル弦理論における分割関数を、トポロジカル・バーテックス法を用いて調査し、これらの分割関数の生成関数がKP階層のタウ関数であることを示している。関連するバーカー＝アキエツェル波動関数は、GukovとSułkowskiが提唱した量子ミラー曲線を実現するq-差分方程式を満たし、コーシーの恒等式およびq-級数の恒等式を用いて明示的な解が得られ、解消されたコンファイルドからの既知の結果がより一般的な場合へと拡張されている。

ABSTRACT

The method of topological vertex for topological string theory on toric Calabi-Yau 3-folds is reviewed. Implications of an explicit formula of partition functions in the "on-strip" case, typically the generalized conifolds, are considered. Generating functions of part of the partition functions are shown to be tau functions of the KP hierarchy. The associated Baker-Akhiezer functions play the role of wave functions, and satisfy $q$-difference equations. These $q$-difference equations represent the quantum mirror curves conjectured by Gukov and Sułkowski.

研究の動機と目的

• 一般化されたコンファイルド上のトポロジカル弦の分割関数の数学的構造、特に「ストリップ上」の状況を理解すること。
• 分割関数の生成関数とKP可積分階層との間の関係を確立すること。
• 一般化されたコンファイルドの量子ミラー曲線を実現するq-差分方程式を導出し、それらを解析すること。
• 解消されたコンファイルドに関する既知の結果を、組合せ的恒等式を用いてより一般的なトーリックCalabi-Yau 3-foldへと一般化すること。

提案手法

• 一般化されたコンファイルド上の分割関数を計算するために、分割とスケュー・シュール関数の組合せ的データを用いたトポロジカル・バーテックス法が適用された。
• ストリップ状のウェッブ図形における内部の分割の和を明示的に取りまとめるために、スケュー・シュール関数のコーシーの恒等式が用いられた。
• 分割関数の生成関数が構成され、KP階層の双線形恒等式を満たすことが示され、それらがタウ関数として同定された。
• 波動関数はゼロの時間変数におけるバーカー＝アキエツェル関数として定義され、KP階層から導かれるq-差分方程式を満たすことが示された。
• 古典的極限（q→1）においてq-差分方程式を解析し、一般化されたコンファイルドのミラー曲線方程式が回復された。
• q-級数の恒等式を用いて、特に解消されたコンファイルドのような特別な場合における波動関数の明示的な無限積形が導出された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたコンファイルド上の分割関数は、KP階層のような可積分階層とどのように関係しているか？
• RQ2 トポロジカル・バーテックスとコーシーの恒等式は、これらの分割関数の計算と単純化にどのような役割を果たすか？
• RQ3 一般化されたコンファイルドの波動関数は、量子ミラー曲線の予想を実現するq-差分方程式を満たすことができるか？
• RQ4 なぜ解消されたコンファイルドの場合は波動関数が無限積形をとるのか、そしてより一般的な場合とはどのように異なるのか？
• RQ5 フレーミング変換は、導出されたミラー曲線と古典的極限における標準的なミラー曲線との間の不一致をどのように解消するのか？

主な発見

• 一般化されたコンファイルド上の分割関数の生成関数が、コーシーの恒等式による対称関数との関係を通じてKP階層のタウ関数であることが示された。
• 波動関数Φn(x)とΨn(x)は、t=0におけるKP階層の双対バーカー＝アキエツェル関数として同定され、量子ミラー曲線を符号化するq-差分方程式を満たすことが示された。
• 古典的極限（q→1）において、q-差分方程式はミラー曲線方程式x = (1−y⁻¹)Bn(y)/Cn(y)に簡略化され、GukovとSułkowskiが予想した形とフレーミング変換を除いて一致した。
• 解消されたコンファイルドの場合、波動関数は無限積形Φ(x) = ∏ₙ(1−q⁻ⁿ⁺¹ᐟ²x)⁻¹をとる。これは、そのq-差分方程式の単純な構造に起因する特別な性質である。
• 解消されたコンファイルドの分割関数Z^∅∅(x⁽¹⁾,x⁽²⁾)は、二つの量子ディログラミッド関数の積に分解され、2成分KP階層における特別な役割を示唆している。
• この手法は、q-差分方程式がより複雑になり、無限積解が得られないため、任意の一般化されたコンファイルドに一般化できない。