[論文レビュー] Remarks on Rémond's generalized Lehmer problems

Robert Grizzard|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2017

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$\mathbb{G}_m$ 内の $\Gamma = \langle g_1,\dots,g_n\rangle^{\text{div}}$ における Rémond の一般化 Lehmer 猜測の1次形式が、完全な強い形とほぼ同程度の強さを持つことを確立する。標準的高さ計量におけるディオファントス近似技法を用いることで、著者は1次形式が指数 $2+\varepsilon$ の相対 Lehmer 型の下界を意味することを証明し、$\Gamma = \langle 2\rangle^{\text{div}}$ の場合に長年の未解決問題を解決する。本研究には、Rémond による自身の予想に関する以前未発表の部分結果も含まれている。

ABSTRACT

We draw connections between the various conjectures which are included in G. Rémond's generalized Lehmer problems. Specifically, we show that the degree one form of his conjecture for the multiplicative group is, in a sense, almost as strong as the strong form. Our insights into the conjectures apply a basic result on what may be called Diophantine approximation in the metric induced by the canonical height. We also present a previously unpublished partial result of Rémond on his conjectures.

研究の動機と目的

• 一般化 Lehmer 猜測の強い形、弱い形、1次形の間の論理的関係を明確化すること。
• 1次形が指数 $2+\varepsilon$ の非自明な相対的高さ下界を意味することを確立すること。
• 標準的高さ計量におけるディオファントス近似技法を用いて、部分群 $\Gamma$ に関する点の高さの有効な下界を導出すること。
• G. Rémond による自身の予想に関する以前未発表の部分結果を提示し、一般化 Lehmer 問題の理解を深めること。
• $\Gamma = \langle 2\rangle^{\text{div}}$ の場合を解決し、1次形が強い形を意味することを示すことにより、分野における長年の未解決問題を前進させること。

提案手法

• 商 $\mathcal{G}(\overline{\mathbb{Q}})/\mathcal{G}(\overline{\mathbb{Q}})_{\text{tors}}$ 上に標準的高さ $h$ をノルムとして用い、これは $\mathbb{Q}$-ベクトル空間である。
• 相対的高さ $h_\Gamma(P) = \inf_{\gamma \in \Gamma} h(P - \gamma)$ を定義し、これを部分群 $\Gamma$ への距離として解釈する。
• 標準的高さによって誘導される計量におけるディオファントス近似推定値を適用し、特に $h(\sigma\alpha / \alpha)$ に対する境界を活用する。
• Capelli-Kneser 定理を用いて、$\alpha^m \in K_\Gamma$ のときの $[K_\Gamma(\alpha):K_\Gamma]$ を分析し、$x^m - \alpha^m$ の既約性を保証する。
• 有効な下界 $[AD07]$ および $[BG06]$ を用い、$\beta \notin k^{\text{div}}$ のときの $h(\beta)$ に対して有効な下界を得、それを $V_k(\alpha)$ および $W_k(\alpha)$ に翻訳する。
• 対数的および次数的推定値を用いて、$[k^{\text{ab}}(\alpha):k^{\text{ab}}]$ および $D_0 = [\mathbb{Q}^{\text{ab}}(\alpha):\mathbb{Q}^{\text{ab}}]$ に依存する明示的な不等式 (4.5)–(4.7) を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Rémond の一般化 Lehmer 猜測の1次形は、$\mathbb{G}_m$ 内の $\Gamma = \langle g_1,\dots,g_n\rangle^{\text{div}}$ に対して強い形を意味するか？
• RQ2 標準的高さ計量におけるディオファントス近似は、$\alpha \notin \Gamma$ のとき $h_\Gamma(\alpha)$ の有効な下界を導けるか？
• RQ3 1次形の定量的強さは相対 Lehmer 問題に対してどの程度か？
• RQ4 $K_\Gamma$ の構造および可除閉包 $\Gamma^{\text{div}}$ は、$\alpha \in K_\Gamma$ の高さ下界にどのように影響するか？
• RQ5 Rémond の一般化 Lehmer 問題に関する未発表の作業から得られる部分結果は何か？

主な発見

• Rémond の予想の1次形は、$h(\alpha) \geq C_{\Gamma}^{0}/[K_\Gamma(\alpha):K_\Gamma]$ の形の相対的高さ下界を意味し、これは弱い形よりも強く、強い形にほぼ等しい。
• 任意の $\varepsilon > 0$ に対して、1次形は $h_\Gamma(\alpha) \geq c(k,\varepsilon)/[k^{\text{ab}}(\alpha):k^{\text{ab}}]^{2+\varepsilon}$ を意味する。これは、1次形が強い相対 Lehmer 型の下界を意味することを示しており、既知の結果を著しく強化する。
• 証明では $h_\Gamma(\alpha) \geq \frac{1}{2} W_k(\alpha)$ が確立され、$W_k(\alpha)$ に対する有効な下界を用いて、対数的および次数的依存性を持つ明示的な不等式 (4.5)–(4.7) を導出する。
• $\alpha^m \in K_\Gamma$ かつ $m$ が最小のとき、Capelli-Kneser 定理により $[K_\Gamma(\alpha):K_\Gamma] = m$ が保証され、1次形を用いて $h(\alpha)$ を $C_\Gamma^0 / m$ で下から抑えられる。
• 結果として、$\Gamma = \langle 2\rangle^{\text{div}}$ の場合が解決され、1次形が強い形を意味することを示した。これは、分野における長年の未解決問題を前進させる。
• 以前未発表の Rémond の部分結果が提示され、特定の条件下で1次形が強い形を意味することを示しており、一般化 Lehmer 問題の構造に関する新たな知見を提供する。