[論文レビュー] Remarks on Ruelle Operator and invariant line fields problem II

Peter Makienko|ArXiv.org|Oct 25, 2001

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 6被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、ジュリア集合に収束する臨界点をもつ有理型写像が構造安定でないことを、ルエル作用素理論と擬等角変形技術を用いて確立している。主な結果として、このような写像が不安定であることを証明し、さらに、収束性と完全に不変な領域の条件の下で、ジュリア集合上に不変の線分野が存在しないことを示している。

ABSTRACT

Let R be rational map. Critical point c is called summable if series $\sum_i\frac{1}{(R^i)'(R(c))}$ is absolutely convergent. Under some topological condition on postcritical set we prove that R can not be structurally stable if summable critical point $c \in J(R)$.

研究の動機と目的

• ジュリア集合に収束する臨界点をもつ有理型写像が構造安定でないことを証明すること。
• 収束性条件とルエル作用素理論を用いて、不変線分野問題の結果を拡張すること。
• 収束性および完全に不変な領域の仮定の下で、ジュリア集合上に不変線分野が存在しないことの新しいアプローチを提供すること。
• 収束性および擬等角変形技術を用いて、多項式写像に関する以前の結果を有理型写像に一般化すること。
• 特定の級数の消えないことと、有理型写像における構造的不安定性との間の関係を確立すること。

提案手法

• 臨界軌道の収束性を用いて、ルエル作用素とその固定点構成を用いる。
• 擬等角変形理論を適用して、変形空間 $ qc(R) $ の次元を分析し、$ 2\deg(R) - 2 $ と比較する。
• 有理型写像の無限小変形を記述するため、正則ベクトル場の空間 $ H^1(R) $ を導入する。
• ベルトラミ微分とその固定点を特徴づけるために、ベルス作用素 $ B_R $ を用いる。
• 一般化されたメルゲリヤン型近似とフォビニの定理を用いて、特定の $ L^1 $-関数がほとんど everywhere に消えることを示す。
• モビウス変換を用いた共役による議論を用いて、共役における収束性の不変性を分析し、それが保存されないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 後臨界集合および臨界軌道の収束性に関するどのような条件下で、有理型写像が構造的に不安定になるか。
• RQ2 級数 $ \sum_{i=0}^\infty \frac{1}{(R^i)'(R(c))} $ が 0 でないならば、$ c \in J(R) $ をもつ有理型写像が構造的に不安定になるか。
• RQ3 ジュリア集合に収束する臨界点が存在する場合、不変線分野が存在しないことを意味するか。
• RQ4 収束性条件が、擬等角変形空間 $ qc(R) $ の次元にどのように影響するか。
• RQ5 ルエル作用素のアプローチが、有理型力学における不変線分野を研究する新しい方法をどの程度提供するか。

主な発見

• 有理型写像 $ R $ がジュリア集合上に収束する臨界点 $ c \in J(R) $ をもち、かつ $ \sum_{i=0}^\infty \frac{1}{(R^i)'(R(c))} \neq 0 $ であるならば、$ R $ は構造的に安定でない。
• 収束性条件の下で、擬等角変形空間 $ qc(R) $ の次元は $ 2\deg(R) - 2 $ より厳密に小さい。これは構造的安定性に反する。
• 完全に不変な領域をもち、すべての臨界点が $ J(R) $ 上で収束する有理型写像 $ R $ に対して、$ J(R) $ 上に不変線分野は存在しない。
• ルエル作用素に関連する作用素 $ \beta $ の像は、収束性の下で、少なくとも1次元の余次元をもつ部分空間に含まれる。線形従属のとき、$ J_R = \emptyset $ であることを示唆する。
• 方程式系から構成された関数 $ \alpha(z) = \sum B_i A(z, R, R(c_i)) $ は、$ \mathbb{C} $ 上ほとんど everywhere に消える必要がある。線形従属のとき、これは収束性条件に矛盾する。
• 証明は、測度 $ \sum_i B_i \sum_n \frac{\delta_{R^n(R(c_i))}}{(R^n)'(R(c_i))} = 0 $ が成り立つことを示すことに依存しており、これは $ W $ の定義における条件 (2) の下で、収束級数の絶対収束に反する。