[論文レビュー] Remarks on scattering matrices for Schrödinger operators with critically long-range perturbations

Shu Nakamura|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2018

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、臨界定常長距離ポテンシャル（V(x) = O(|x|^{-1}）を有するシュレーディンガー作用素の散乱行列が、球面 S^{d-1} 上の擬微分作用素であることを確立し、その主要記号を明示的に計算し、そのスペクトル的性質を分析する。主な貢献は、回転対称性の下で散乱行列が稠密な純粋点スペクトルを有すること、および特定の2次元例において絶対連続スペクトルを有することの証明であり、μ=1 の長距離散乱に関する先行研究における空白を埋めることに成功している。

ABSTRACT

We consider scattering matrix for Schrödinger-type operators on $\mathbb{R}^d$ with perturbation $V(x)=O(\langle x angle^{-1})$ as $|x| o\infty$. We show that the scattering matrix (with time-independent modifiers) is a pseudodifferential operator, and analyze its spectrum. We present examples of which the spectrum of the scattering matrices have dense point spectrum, and absolutely continuous spectrum, respectively.

研究の動機と目的

• 臨界定常長距離摂動（μ=1）を有するシュレーディンガー作用素の散乱行列を、球面 S^{d-1} 上の擬微分作用素として確立すること。
• 散乱行列の主要記号を、古典的軌道に沿ったポテンシャルの積分を用いて明示的に計算すること。
• 散乱行列のスペクトル的性質、特に稠密な純粋点スペクトルと絶対連続スペクトルの存在を分析すること。
• 先行研究が不完全であった臨界定常ケース μ=1 に対して、洗練された分析を提供することで文献の空白を埋めること。

提案手法

• 長距離摂動の文脈で散乱行列を定義するため、時間に依存しない修正子の使用。
• 擬微分作用素の計算を応用し、S(λ) が特定の記号展開を持つ S^{d-1} 上の擬微分作用素であることを示すこと。
• エネルギー λ と方向 ξ でパrameter化された直線軌道に沿ったポテンシャルの積分を用いて、主要記号の導出。
• ユニタリ擬微分作用素の関数計算を用いてスペクトル的性質を分析すること。
• 漸近展開と交換子推定を用いて、散乱発展を近似する共役作用素の構成。
• ユニタリ作用素の Kuroda-Birman 定理を応用し、トレースクラス摂動と絶対連続スペクトルの不変性を関連付けること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 臨界定常長距離ポテンシャル（μ=1）を有するシュレーディンガー作用素の散乱行列は、球面 S^{d-1} 上の擬微分作用素か？
• RQ2 この臨界定常ケースにおける散乱行列の主要記号の明示的形は何か？
• RQ3 散乱行列が稠密な純粋点スペクトルを示す条件は何か？
• RQ4 特定のポテンシャルに対して、2次元における散乱行列の絶対連続スペクトルを特徴づけられるか？
• RQ5 散乱行列のスペクトル的性質は、小規模な下位順位摂動のもとでどのように振る舞うか？

主な発見

• 散乱行列 S(λ) は、主記号 s₀(λ,x,ξ) = exp(−i(2λ)^{-1/2} ∫_{-∞}^{∞} (V(x+tξ)−V(tξ)) dt) を持つ S^{d-1} 上の擬微分作用素である。
• 主記号 s₀(λ,x,ξ) は任意の δ>0 に対して記号類 S^δ_{1,0}(T^*S^{d-1}) に属し、差分 S(λ)−s₀ は S^{-1+δ}_{1,0} に属する。
• 回転対称性および十分に大きな |x| に対して |x·∂ₓV(x)| ≥ c|x|^{-1} が成り立つ条件の下、散乱行列は全単位円上に稠密な純粋点スペクトルを有する。
• d=2 および V(x) = a x₁ / ⟨x⟩²（a≠0）のとき、S(λ) の本質的スペクトルは {e^{iθ} : |θ| ≤ |a|π(2λ)^{-1/2}} であるが、その補集合には絶対連続スペクトルが存在する（端点を除く）。
• 絶対連続スペクトルは小規模な下位順位摂動に対して安定であり、固有値は端点 e^{±iπa(2λ)^{-1/2}} のみに集積しうる。
• ユニタリ版の Kuroda-Birman 定理を用いて、トレースクラス摂動の下での絶対連続スペクトルの不変性が確立された。