[論文レビュー] Remarks on separating words

Erik D. Demaine, Sarah Eisenstat+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2011

semigroups and automata theory参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、長さが最大nである2つの異なる二進語を区別するために必要な最小の決定的有限オートマトン（DFA）のサイズを求める、分離語問題を調査する。本稿では、k ≥ 2 に対して、S(n) の最悪ケース分離複雑度がアルファベットサイズに依存しないことを示し、決定的および非決定的オートマトンの新しい下界・上界を確立し、2DPDA や置換オートマトンなどの変種を検討する。2DPDA は O(log n) 状態で語を分離できることを示し、対称群における同一関係の構造的制約を同定する。

ABSTRACT

The separating words problem asks for the size of the smallest DFA needed to distinguish between two words of length <= n (by accepting one and rejecting the other). In this paper we survey what is known and unknown about the problem, consider some variations, and prove several new results.

研究の動機と目的

• 任意の長さが最大nの2つの異なる語を分離するためにDFAが必要とする状態数の最大値S(n)のタイトな上界および下界を特定すること。
• 分離複雑度がアルファベットサイズに依存するかどうかを調査し、k ≥ 2 に対して不変であることを示すこと。
• 非決定的オートマトン、2DPDA、および置換オートマトンを含む問題の変種を分析すること。
• すべての群準同型に関する語の同値性から生じる対称群における同一関係の構造を調査すること。

提案手法

• 長さが異なる語を分離するための小さなDFAを構成するために、i ≠ j に対して i ≢ j (mod p) を満たすような p ≤ 4.4 log n の素数の存在を用いる数論的道具を用いる。
• 積集合構成法と最小化アルゴリズムを適用して、DFAの区別語の長さを制限する。
• ユニタリNFAのChrobak構造定理を用いて、非決定的分離複雑度の境界を導出する。
• スタックベースのカウントを用いて入力位置における二分探索をシミュレートすることで、O(log n) 状態の2DPDAを構築する。
• アルファベット還元を用いて、より大きなアルファベット上での語の分離問題を、分離複雑度を保存したまま二進語に還元する。
• 群準同型 σ: {0,1}* → S_n に対して σ(w) = σ(x) を満たす語 w, x を研究することで、S_n における同一関係を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 DFAを用いて長さが最大nの2つの異なる語を分離するために必要な状態数の最大値S(n)の漸近的成長は何か？
• RQ2 分離複雑度は入力アルファベットのサイズに依存するのか？もしそうでなければ、その理由は何か？
• RQ3 非決定的分離（nsep(w,x)）の既知の上界・下界を改善できるか？
• RQ4 長さnの2つの異なる語を分離するために必要な2DPDAの最小サイズは何か？
• RQ5 S_nにおける非自明な同一関係の最短長は何か、すなわちすべての準同型σに対してσ(y) = 恒等写像となる{0,1,0⁻¹,1⁻¹}上での語yの長さは何か？

主な発見

• S(n) = S₂(n) であり、k ≥ 2 に対して分離複雑度がアルファベットサイズに依存しないことを示す。任意のk進語のペアは、同等の分離コストを持つ二進語ペアに還元可能である。
• 長さが異なる語に対しては、sep(w,x) = O(log n) であり、この境界はタイトである。Ω(log n) 状態を必要とするペアが存在する。
• S(n) の最良の既知の上界はRobsonによって確立された O(n²/⁵ (log n)³/⁵) のままであり、本稿ではより良い境界は示されていない。
• 2DPDAは、スタックベースのカウントを用いて入力位置における二分探索をシミュレートすることで、長さnの2つの異なる語をO(log n) 状態で分離可能である。
• ユニタリNFAに対して、決定的分離複雑度と非決定的分離複雑度の比の下界として Ω(√log |x|) が示されている。
• S_nにおける非自明な同一関係の最短長は、GimadeevとVyalyiによって 2^O(√n log n) であると示されており、n=4に対して長さ11の具体的な例が存在する。