[論文レビュー] Remarks on solitary waves and Cauchy problem for a Half-wave-Schrödinger equations

Yakine Bahri, Slim Ibrahim+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2018

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、2次元空間における半波数シュレーディンガー方程式に対して、グランドステートの孤立波解の存在および軌道的安定性を確立し、速度が1に近づく際に消えるトレーリング波解の存在を証明するとともに、$L^2_x H^s_y(\bbR^2)$に属する初期データ（$s > 1/2$）に対するコーシー問題を、変分法および収縮写像の議論を用いて臨界正則性領域で解いた。

ABSTRACT

In this paper, we study the solitary wave and the Cauchy problem for Half-wave-Schrödinger equations in the plane. First, we show the existence and orbital stability of the ground states. Secondly, we prove that traveling waves exist and converge to zero as the velocity tends to $1$. Finally, we solve the Cauchy problem for initial data in $L^{2}_{x}H^{s}_{y}(\mathbb{R}^{2})$, with $s>\frac{1}{2}$.

研究の動機と目的

• 混合ソボレフ空間における制約付き最小化を用いて、半波数シュレーディンガー方程式のグランドステート解の存在を確立する。
• 濃縮・コンパクトネスの原理およびCazenaveとLionsの方法を用いて、定常波解の軌道的安定性を証明する。
• 相対論的極限1に近づく速度におけるトレーリング波解の存在および漸近的挙動を調査する。
• 方程式の非標準的スケーリングおよびエネルギー空間を考慮しても、$L^2_x H^s_y(\bbR^2)$（$s > 1/2$）における初期データに対する局所的適切性を解明する。

提案手法

• 楕円型方程式 (1.3) の変分的構造を活用し、制約 $\mathcal{N}_\omega(u) = 0$ の下で汎関数 $\mathcal{S}_\omega(u)$ の最小化問題を解き、グランドステート $Q_\rho$ を構成した。
• 濃縮・コンパクトネスの原理およびCazenaveとP.-L. Lionsの方法を用いて、$L^2$-下臨界領域（$1 < p < 7/3$）におけるグランドステート軌道の軌道的安定性を証明した。
• スケーリングの議論と陰関数定理を用いて、$\psi(t,x,y) = e^{i\omega t}Q_\omega(x - vt, y)$ の形のトレーリング波解が存在し、$v \to 1^-$ のとき $|Q_v| \to 0$ となることを示した。
• 適切な関数空間における収縮写像の議論を用いて、$L^2_x H^s_y(\bbR^2)$（$s > 1/2$）における局所的適切性を確立した。この際、Strichartz推定と初期データノルムへの時間依存性の連続性に依拠した。
• フーリエ乗算子理論およびLizorkinとEsfahaniらの正則性結果を用いて、グランドステート $Q_\omega$ がエネルギー空間 $X = H^1_x L^2_y \cap L^2_x H^{1/2}_y(\bbR^2)$ に属することを証明した。
• Brezis-Liebの補題およびコンパクトネスの道具を用いて、最小化列の収束を扱い、ほとんど everywhere での点ごとの収束の下で $|u_n|^{p+1}$ が $L^1$ で強収束することを確認した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半波数シュレーディンガー方程式（$\bbR^2$ 上、$1 < p < 5$）に対して、グランドステートの孤立波解は存在するか？
• RQ2 $L^2$-下臨界領域において、方程式のフロー下でグランドステート解の軌道は軌道的に安定か？
• RQ3 トレーリング波解は存在するか？ 速度が1に近づくときの挙動はいかなるものか？
• RQ4 初期データが $L^2_x H^s_y(\bbR^2)$（$s > 1/2$）に属する場合、コーシー問題は局所的に適切か？
• RQ5 非一様エネルギー空間 $X$ におけるグランドステート解の正則性および減衰挙動はどのようなものか？

主な発見

• $1 < p < 5$ および $\omega > 0$ のとき、非自明なグランドステート $Q_\omega \in X$ が存在し、制約 $\mathcal{N}_\omega(u) = 0$ の下で汎関数 $\mathcal{S}_\omega(u)$ を最小化する。変分法を用いて存在性を証明した。
• $L^2$-下臨界領域（$1 < p < 7/3$）において、軌道 $\mathcal{O}_\omega = \{ e^{i\theta} Q_\omega(\cdot + \tau_1, \cdot + \tau_2) \}$ は空間 $X$ において軌道的に安定である。
• すべての速度 $v \in (0,1)$ に対してトレーリング波解が存在し、$v \to 1^-$ のとき $\|Q_v\|_{X} \to 0$ となる。これは相対論的極限における振幅の消失を示している。
• $L^2_x H^s_y(\bbR^2)$（$s > 1/2$）における初期データに対して、(1.1) のコーシー問題は局所的に適切である。最大存在時間 $T$ は初期データノルムに対して連続的依存する。
• グランドステート $Q_\omega$ はエネルギー空間 $X$ に属し、フーリエ乗算子推定およびLizorkinの乗算子定理（$L^2$-有界性）の応用により正則性が確立された。
• $p > 7/3$ のとき、関数 $R_1 = \partial_\omega Q_\omega|_{\omega=1}$ は $L^2(\bbR^2)$ に属する。これは、スケーリング下でのグランドステートの正則性を証明するために不可欠である。