[論文レビュー] Remarks on Springer's representations

G. Lusztig|ArXiv.org|Nov 3, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、スプリンガーのWeyl群表現とルシュチッグの$ T^p_W $-系列の間の正確な対応関係を確立し、すべての有限Weyl群および悪性の素数について、$ S_g $（スプリンガー対応からの単純なユニポテンツ文字）が$ T^p_W $（一般化されたグリーン関数から生じる既約表現の集合）と完全に一致することを証明している。この結果は、既知の文字の公式と帰納的技法を用いて、個々のケースごとに検証されており、リー型有限群の表現論における重要な構造的問題を解決している。

ABSTRACT

We give an apriori description of a set of irreducible representations of a Weyl group which parametrize the nilpotent orbits in the Lie algebra of a connected reductive group in arbitrary characteristic. We also answer a question of Serre concerning the conjugacy class of a power of a unipotent element in a connected reductive group.

研究の動機と目的

• リー型有限群のユニポテンツ表現$ S_g $とルシュチッグが定義した$ T^p_W $-系列の間の正確な一致を確立すること。
• 対応する代数群$ G $に対して素数$ p $が悪性のとき、すべてのWeyl群$ W $について$ S_g = T^p_W $が成り立つことを検証すること。
• 良い素数における既知の等式$ S_g = T^p_W $を、明示的な文字の記述と帰納法を用いて悪性の素数へと拡張すること。
• 例外型（例：$ E_8 $、$ F_4 $）において悪性の素数で$ S_g $が$ S_G $を厳密に包含するという$ S_g $の構造を解明すること。
• 組合せ論的および表現論的定義による$ T^p_W $が、すべてのケースにおいて幾何学的スプリンガー対応と整合することを確認すること。

提案手法

• 各Weyl群$ W $に対して、ルシュチッグ（1986, 1987）の研究における写像$ j_W^J_W $を用いて$ T^p_W $を帰納的に計算する。
• 良い素数における$ S^1_W $（ユニポテンツ文字）の既知の記述を、帰納法の基本ケースとして用いる。
• ルシュチッグ（1986, 1987）の$ j_W^J_W $の明示的公式と、アーヴィス（1987）の表を用いて、例外型に対して処理する。
• 悪性の素数の場合、$ S_g $を$ \text{Irr}(W) $、$ \tilde{C}_k^n $、$ \tilde{D}_k^n $、または特定の文字を用いてスパルテンシュタインの明示的記述で表現する。
• すべての型$ B_n, C_n, D_n, G_2, F_4, E_6, E_7, E_8 $について、$ p $が悪性のとき、$ S_g $と$ T^p_W $を個別に比較する。
• 文字の次数（例：$ b_{50_x} = 8 $、$ b_{700_{xx}} = 16 $）を用いて、$ S_g \backslash S_G $と$ T^p_W \backslash T^1_W $が一致することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対応する代数群$ G $に対して素数$ p $が悪性のとき、すべてのWeyl群$ W $について$ S_g = T^p_W $が成り立つか？
• RQ2 例外型において悪性の素数でスプリンガー表現$ S_g $は$ S_G $とどのように異なるか？
• RQ3 悪性の素数であっても、帰納法と既知の写像$ j_W^J_W $を用いて$ T^p_W $-系列を一様に計算可能か？
• RQ4 型$ B_n, C_n, D_n $において$ p=2 $のとき、$ S_g $の正確な組合せ論的記述は何か？
• RQ5 $ S_g \backslash S_G $に含まれる追加のユニポテンツ文字（例：$ E_8 $における$ 50_x, 700_{xx} $）の文字の次数が$ T^p_W $と一致するか？

主な発見

• 型$ C_n $（$ p=2 $）の$ G $について、$ S_g = \text{Irr}(W) $であり、これは$ T^p_W $と一致する。
• 型$ B_n $（$ p=2 $）の$ G $について、$ S_g = \{[a_*,a'_*] \in \text{Irr}(W) \mid (a_*,a'_*) \in \tilde{C}_k^n \} $であり、これは$ T^p_W $に等しい。
• 型$ D_n $（$ p=2 $）の$ G $について、$ S_g = \zeta^{-1}(\tilde{D}_k^n) $であり、これは$ T^p_W $と一致する。
• 型$ F_4 $（$ p=2 $）の$ G $について、$ S_g = S_G \sqcup \{1_3, 2_3\} $であり、$ b_{1_3} = 12 $、$ b_{2_3} = 4 $であり、$ T^p_W $と一致する。
• 型$ E_8 $（$ p=2 $）の$ G $について、$ S_g = S_G \sqcup \{50_x, 700_{xx}\} $であり、$ b_{50_x} = 8 $、$ b_{700_{xx}} = 16 $であり、これらは$ T^p_W $と一致する。
• すべてのケースにおいて、スプリンガーとスパルテンシュタインによる$ S_g $の明示的記述が、$ T^p_W $の帰納的構成と一致し、$ S_g = T^p_W $が確認された。