[論文レビュー] Remarks on the abundance conjecture

Kenta Hashizume|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、$(n-1)$-fold に対して同様の予想が成り立つものと仮定して、境界除数がビッグである対数 canonical $n$-fold に対する相対豊富性予想を証明する。log minimal model program と scaling を用い、既知の終了結果と組み合わせることで、ネフ性の下での対数 canonical 除数の半正則性を確立し、4次元における log MMP の完全な終了および対数 canonical 4-fold における接続環の有限生成性を示す。

ABSTRACT

We prove the abundance theorem for log canonical $n$-folds such that the boundary divisor is big assuming the abundance conjecture for log canonical $(n-1)$-folds. We also discuss the log minimal model program for log canonical $4$-folds.

研究の動機と目的

• 境界除数がビッグである対数 canonical $n$-fold に対して、相対豊富性予想が成り立つことを示す。ただし、$(n-1)$-fold に対しては同様の予想が成り立つものとする。
• 境界除数がビッグである対数 canonical 4-fold に対して、最小モデルプログラム（MMP）を拡張し、終了性および良い最小モデルの存在を証明する。
• 境界除数がビッグである対数 canonical 4-fold に対して、接続環の有限生成性を示す。ただし、同様の帰納的仮定を用いる。
• 境界除数がビッグである対数 canonical 4-fold に対して、完全な最小モデル理論を構築する。この際、すべての次元で対数フラップの存在が既知であることに依拠する。

提案手法

• 次元に関する帰納法を用い、対数 canonical $(n-1)$-fold に対して豊富性予想が成り立つものと仮定して、$n$-fold に対しても同様に成り立つことを示す。
• log minimal model program と scaling を適用し、問題を有限個のフラップおよび divisorial な収縮への帰着させる。
• 既知の結果として、$\mathbb{Q}$-因子的 dlt 4-fold に対する log MMP と scaling の終了性が、先行研究で確立されていることを根拠とする。
• すべての次元で対数 canonical なペアに対する log フラップが存在することを用い、MMP の実行を可能にする。
• ネフ性の下で相対豊富性と半正則性が同値であることを利用し、問題を半正則性の証明に還元する。
• log MMP と scaling の終了に関する [B2] および [F4] の結果を用い、無限列の状況で矛盾を導出し、終了性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $(n-1)$-fold に対して同様の予想が成り立つものと仮定したとき、境界除数がビッグである対数 canonical $n$-fold に対して相対豊富性予想は成り立つか？
• RQ2 境界除数がビッグである対数 canonical 4-fold に対して、log minimal model program と scaling は完全に終了するか？
• RQ3 境界除数がビッグである対数 canonical 4-fold の接続環は、有限生成か？
• RQ4 境界除数がビッグである条件の下で、相対豊富性予想は、4次元における良い最小モデルまたは Mori ファイバー空間の存在を示唆するか？
• RQ5 対数 canonical 除数が基底上に擬効果的である場合に、境界除数がビッグである対数 canonical 4-fold に対する log MMP は終了するか？

主な発見

• 境界除数がビッグである対数 canonical $n$-fold に対して、相対豊富性予想は、$(n-1)$-fold に対して同様の予想が成り立つ限り成り立つ。
• 境界除数がビッグである対数 canonical 4-fold に対して、log minimal model program と scaling は終了し、良い最小モデルまたは Mori ファイバー空間が得られる。
• 境界除数がビッグである対数 canonical 4-fold に対して、log canonical 除数が基底上に擬効果的であれば、任意の log MMP は終了する。
• 対数 canonical 4-fold に存在する $n$ 個のビッグな $\mathbb{Q}$-Cartier 除数の接続環は、$\mathcal{O}_U$-代数として有限生成である。
• すべての次元で log フラップが存在することにより、境界除数がビッグである対数 canonical 4-fold に対する log MMP を完全に実行可能である。
• 証明は、無限個のフラップ列による背理法に依拠しており、$\mathbb{Q}$-因子的 dlt 4-fold に対する既知の終了結果によって、そのような無限列は排除される。