[論文レビュー] Remarks on the Cayley Representation of Orthogonal Matrices and on Perturbing the Diagonal of a Matrix to Make it Invertible

Jean Gallier|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2006

Mathematics and Applications参考文献 7被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、固有値に -1 を含むものも含め、すべての直交行列を、Cayley 変換とシグニチャ行列の積として表現する、古典的 Cayley 変換の拡張を行う。さらに、任意の行列が、対角成分の符号を反転させることで常に正則化可能であることを証明し、大きさではなく符号の摂動に依存する。主な結果として、非特異な対角摂動に対しては、このような符号反転が常に正則性を保証することを示している。

ABSTRACT

This note contains two remarks. The first remark concerns the extension of the well-known Cayley representation of rotation matrices by skew symmetric matrices to rotation matrices admitting -1 as an eigenvalue and then to all orthogonal matrices. We review a method due to Hermann Weyl and another method involving multiplication by a diagonal matrix whose entries are +1 or -1. The second remark has to do with ways of flipping the signs of the entries of a diagonal matrix, C, with nonzero diagonal entries, obtaining a new matrix, E, so that E + A is invertible, where A is any given matrix (invertible or not).

研究の動機と目的

• 回転行列の古典的 Cayley 表現を、固有値に -1 を含むものにも拡張すること。
• シグニチャ行列を用いて、すべての直交行列（不適切なものも含む）に Cayley 変換を一般化すること。
• 元の行列が正則でなくても、対角成分の符号を反転させることで、任意の行列を正則化できることを確立すること。
• 正則性を保証するために、大きさではなく符号による対角成分の摂動の理論的基盤を提供すること。
• 対角成分の符号摂動が行列の正則性を保証するための最小条件を同定すること。

提案手法

• 任意の回転行列を、反対称行列の2つの Cayley 変換の積として表現するために、Hermann Weyl の結果を用いる。
• 角度 ≤ π の回転ブロックの平方根を適用して、-1 の固有値を回避し、標準的な Cayley 表現を可能にする。
• ±1 を成分とする対角行列 E を導入し、任意の直交行列を R = E(I−S)(I+S)⁻¹（S は反対称行列）として表現する。
• 特徴が 2 でない整域上の多項式の議論を用いて、det(E + A) ≠ 0 となる符号割り当てが存在することを示す。
• 多項式の変数数に関する帰納法を用いて、行列式が消えない符号割り当てが存在することを証明する。
• Kahan の方法を用いた別証明を提供し、すべての 2ⁿ 個のシグニチャ行列の和と、行列式の列線形性の性質を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的 Cayley 変換を、固有値に -1 を含むすべての回転行列に拡張できるか？
• RQ2 Cayley 表現を、不適切な（det = -1）ものを含むすべての直交行列に一般化できるか？
• RQ3 元の行列の構造に関係なく、対角成分の符号反転のみで任意の行列を正則化できるか？
• RQ4 行列の正則性を保証するための、対角摂動（符号の観点から）の最小条件は何か？
• RQ5 この結果を非対角摂動へ、非自明に拡張できるか？

主な発見

• SO(n) 内の任意の回転行列は、反対称行列の Cayley 変換の平方として表現可能である。
• O(n) 内の任意の直交行列は、±1 を成分とする対角行列 E と反対称行列 S を用いて R = E(I−S)(I+S)⁻¹ として表現可能である。
• 任意の n×n 行列 A と任意の非ゼロ対角行列 C に対して、C + A が正則となる符号割り当てが存在する。
• 正則性は対角成分の大きさではなく符号に依存し、そのような符号割り当ては常に存在する。
• 証明は、特徴が 2 でない整域に値をとる行列の行列式が、適切な対角成分の符号反転によって非ゼロであるという事実に依拠している。
• Kahan の方法による別証明により、すべての 2ⁿ 個のシグニチャ行列の和と行列式の線形性を用い、すべての I + EₖA が特異であると仮定すると矛盾が生じることを示し、結果を確認している。